連続した整数の掛け算 （豊島岡女子学園中学 2011年）

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１から５０までの整数をすべてかけあわせた数をＡ とします。

Ａ を、３，５，７，９，３，５，７，９，３，・・・ の順番にくり返し

割っていきます。

　 Ａ÷３

　 （Ａ÷３）÷５

　 （Ａ÷３÷５）÷７

　 （Ａ÷３÷５÷７）÷９

　 （Ａ÷３÷５÷７÷９）÷３

　  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このとき、はじめて割り切れなくなるのは、３，５，７，９ のうち

どれで割ったときですか。

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　９で割ると、５０÷９＝５あまり５ なので、５回しか割り切れない、

と考えてしまうかもしれませんが、３×６＝１８ のように、

　３の倍数×３の倍数 を計算したものは、９で割りきれます。

　

　５では、５０÷５＝１０回 と、２５，５０がそれぞれ２回５で割り

切れる（５×５＝２５）ことから、１０＋２＝１２回割り切れます。

　

　７では、５０÷７＝７回 と、４９が２回７で割り切れることから

７＋１＝８回割り切れ、９回目から割り切れません。

　

　９は最初に計算したように、５回は割り切れます。あと３回、９で

割りきることができるか考えましょう。

　

　５０までに、３の倍数は１６個、９の倍数は５個 あります。

さらに注意したいのは、２７＝３×９ です。

３の倍数１６個の中には、９の倍数５個も含まれ、その中に２７が

あるので、３だけで割れる個数は、１６－５＋１＝１２個、

９で直接割れる個数は５個ですね。

　

９で５回まで割ったとき、３の倍数は残り７個、９の倍数は残り０個

となっていて、３，５，７，９が６回目の操作に入ると、

残った６個の３の倍数のうち、÷３ で１個、÷９ で２個 使い、

３の倍数は残り４個 となります。

　

７回目の操作で、同様に、÷３ で１個、÷９ で２個 使い、

３の倍数は残り１個 となります。　

　

すなわち、８回目の操作では、３では割れますが、９では

割ることができません。

　

以上より、はじめて割り切れなくなるのは、９ で割ったときです。

　

【２７】＝ ３×９ を見落とさずに解けるかどうかがポイントです。

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