点の移動と面積は？（慶應義塾中等部 2010年）

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図のような、たて６ｍ、横１１ｍの長方形から、たて３ｍ、横６ｍの長方形を、

辺が平行になるようにくり抜いた１枚の板があります。

太郎君がＡを毎秒８０ｃｍの速さでＢに向かって出発した３秒後、

次郎君はＤを太郎君と同じ速さでＣに向かって出発しました。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）太郎君が出発してから５秒後に太郎君と次郎君を結んだ直線で板を切るとき、

小さい板と大きい板の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）太郎君と次郎君を結んだ直線で板を切って、

板が２等分されるのは、太郎君が出発してから何秒後ですか。

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　（１）板の面積は、６×１１－３×６＝４８㎡ です。

　

太郎君は次郎君より３秒速く出発するので、

　 ８０×３＝２４０ｃｍ＝２．４ｍ 先に進んでいることになります。

すると、下の図１のように、太郎君、次郎君を結んだ直線を含む

直角三角形を作ることができます。

　　　　　　

この直角三角形が内側の長方形と重なる部分は、それぞれ

相似比より、０．４ｍ、１．６ｍ の長さになることがわかります。

　

　さて、出発して５秒後には、太郎君は５×０．８ｍ＝４ｍ、

次郎君は、（５－３）×０．８＝１．６ｍ それぞれ進むので、

下の図２のような位置にいることがわかります。

　　　　

太郎君と次郎君を結んだ直線は、くり抜いた長方形の頂点を

通ることがわかり、左側の板の面積は、

　 台形から底辺１．２ｍ、高さ３ｍの直角三角形を除いたもので、

（１．６＋４）×６÷２－１．２×３÷２＝１５㎡ と求められます。

　

板の面積が４８㎡ なので、右側の板の面積は、

　４８－１５＝３３㎡ となり、

小さい板の面積と大きい板の面積の比は、

　１５：３３＝５：１１ となります。

　

　

　（２）板が二等分されるとき、板の面積は、４８÷２＝２４㎡ です。

このとき、次郎が頂点Ｄから□ｍ進んだところにいるとして

図を描くと、下の図３のようになります。

　　　

太郎の位置をＰ，次郎の位置をＱとして、内側の長方形の左側の

頂点をＥ，Ｆ、ＰＱと内側の長方形の交点をＧ，Ｈとすると、

板の面積は、台形ＡＰＱＤ－台形ＥＦＧＨ として求められ、

　（□＋□＋２．４）×６÷２

　　　　　－｛（□－２＋０．４）＋（□－２＋１．６）｝×３÷２＝２４

という式を作ることができ、これを解くと、□＝４．６ｍ となります。

（このとき点Ｇは、４．６＋１．６＝６．２ｍ の場所なので、内側の

長方形の中にあることがわかります）

　

次郎が４．６ｍ進むのは、太郎が頂点Ａを出発してから

　４．６÷０．８＋３＝８．７５秒後 と求められます。

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