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2015年4月14日 (火)

点の移動と面積は?(慶應義塾中等部 2010年)

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図のような、たて6m、横11mの長方形から、たて3m、横6mの長方形を、

辺が平行になるようにくり抜いた1枚の板があります。

太郎君がAを毎秒80cmの速さでBに向かって出発した3秒後、

次郎君はDを太郎君と同じ速さでCに向かって出発しました。

このとき、次の問に答えなさい。

    

(1)太郎君が出発してから5秒後に太郎君と次郎君を結んだ直線で板を切るとき、

小さい板と大きい板の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)太郎君と次郎君を結んだ直線で板を切って、

板が2等分されるのは、太郎君が出発してから何秒後ですか。

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 (1)板の面積は、6×11-3×6=48㎡ です。

 

太郎君は次郎君より3秒速く出発するので、

  80×3=240cm=2.4m 先に進んでいることになります。

すると、下の図1のように、太郎君、次郎君を結んだ直線を含む

直角三角形を作ることができます。

      

この直角三角形が内側の長方形と重なる部分は、それぞれ

相似比より、0.4m、1.6m の長さになることがわかります。

 

 さて、出発して5秒後には、太郎君は5×0.8m=4m、

次郎君は、(5-3)×0.8=1.6m それぞれ進むので、

下の図2のような位置にいることがわかります。

    

太郎君と次郎君を結んだ直線は、くり抜いた長方形の頂点を

通ることがわかり、左側の板の面積は、

  台形から底辺1.2m、高さ3mの直角三角形を除いたもので、

(1.6+4)×6÷2-1.2×3÷2=15㎡ と求められます。

 

板の面積が48㎡ なので、右側の板の面積は、

 48-15=33㎡ となり、

小さい板の面積と大きい板の面積の比は、

 15:33=5:11 となります。

 

 

 (2)板が二等分されるとき、板の面積は、48÷2=24㎡ です。

このとき、次郎が頂点Dから□m進んだところにいるとして

図を描くと、下の図3のようになります。

   

太郎の位置をP,次郎の位置をQとして、内側の長方形の左側の

頂点をE,F、PQと内側の長方形の交点をG,Hとすると、

板の面積は、台形APQD-台形EFGH として求められ、

 (□+□+2.4)×6÷2

     -{(□-2+0.4)+(□-2+1.6)}×3÷2=24

という式を作ることができ、これを解くと、□=4.6m となります。

(このとき点Gは、4.6+1.6=6.2m の場所なので、内側の

長方形の中にあることがわかります)

 

次郎が4.6m進むのは、太郎が頂点Aを出発してから

 4.6÷0.8+3=8.75秒後 と求められます。

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