水につかっている部分の面積は？（甲陽学院中学 2010年）

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図のように、１辺の長さが５ｃｍの立方体の箱を水にうかべると、

一部分だけが水面上に出ました。

水面から上の部分の長さを測ると、４ｃｍ、１ｃｍ、３ｃｍでした。

この箱の表面のうち、水面から下の部分の面積を求めなさい。

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　考え方として、下の図１のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの

点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面で切ったとき、切り口がどうなるのかを

考えます。

Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面と、辺ＤＨの交点を点Ｓとして考えると、

Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面が、

　　ＢＱ＝１ｃｍ → ＣＲ＝３ｃｍ となっているので、

　　ＡＰ＝ ４ｃｍ → ＤＳ＝６ｃｍ となることがわかります。

　

ところが、この立方体の１辺の長さは５ｃｍなので、

立方体の頂点Ｈ は、水面より上にあることがわかり、下の図２の

ように、ＰＳとＥＨの交点をＴ、ＲＳとＧＨの交点をＵとすると、

ＳＨ＝１ｃｍ、ＰＥ＝１ｃｍで平行なので、三角形ＰＴＥ と

三角形ＳＴＨは合同で、点ＴはＥＨを２等分する点という

ことがわかります。

　

また、三角形ＲＵＧと三角形ＳＵＨが相似で、ＳＨ＝１ｃｍ、

ＲＧ＝２ｃｍなので、相似比が１：２で、点ＵはＨＧを１：２に

分ける点ということがわかります。

　

よって、求める面積は、

　台形ＰＥＦＱ、台形ＲＧＦＱ、三角形ＰＴＥ、三角形ＲＵＧ、

　五角形ＥＦＧＵＴ

を合計したものです。

　

台形ＰＥＦＧの面積 ： （１＋４）×５÷２

台形ＲＧＦＱの面積 ： （２＋４）×５÷２

三角形ＰＴＥの面積 ： １×２．５÷２

三角形ＲＵＧの面積 ： ２×５×２/３÷２

五角形ＥＦＧＵＴの面積 ： ５×５－２．５×５÷３÷２

　

これらを合計すると、

　（５×５＋６×５＋２．５＋２０/３－２５/６）÷２＋２５

＝５５ｃ㎡ となります。

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