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2015年4月27日 (月)

棒と石の並べ方は?(清風南海中学 2009年)

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同じ大きさのご石と同じ長さの棒がたくさんあります。

これらを下の図のように規則的にならべていきます。

  

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)図7では、ご石が何個使われていますか。

(2)図7では、棒は何本使われていますか。

(3)棒を840本使ったとき、何番目の図になりますか。

(4)使った棒とご石の数の差が2400のときは、何番目の図ですか。

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 (1)用いるご石の数は、

図1では、2×2=4個

図2では、3×3=9個

図3では、4×4=16個

となっているので、

図7では、8×8=64個 です。

 

 (2)まず、棒の数え方を考えます。

たてと横の本数に注目して、下の図4のように

たての棒を赤丸、横の棒を青丸で表しました。

 

用いる棒の数は、

 図1では、2×2=4本

  図2では、3×4=12本

  図3では、4×6=24本

のようになっており、

  図Aでは、(A+1)×A×2 本 と表すことができます。

 

よって、図7では、

 (7+1)×7×2=112本 とわかります。

 

 (3) (2)より、棒の本数は、

(□+1)×□×2 =840 と表すことができ、

(□+1)×□=420 です。

 

420を因数分解すると、

 420=6×7×10=2×3×7×2×5

             =20×21 となるので、

□=20 より、20番目の図であることがわかります。

 

 (4) (3)までより、□番目の図のご石の数と棒の数は、

 ご石:(□+1)×(□+1)

 棒:(□+1)×□×2

と表すことができることがわかりました。

 

この差が2400なので、式は、

 (□+1)×□×2-(□+1)×(□+1)=2400 となります。

 

ここで、式が見にくいので、□+1=△とすると、この式は、

 △×(△-1)×2-△×△=2400 となります。

これは、

 △×{(△-1)×2-△}=2400 となり、

 △×(△-2)=2400 となります。

 

(3)と同様に、2400を因数分解すると、

 2400=24×100=48×50 となるので、

 △=50 ということがわかります。

 

△=□+1 なので、□=49 と求められ、使ったご石と棒の

数の差が2400になるのは、49番目の図ということがわかります。

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