棒と石の並べ方は？（清風南海中学 2009年）

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同じ大きさのご石と同じ長さの棒がたくさんあります。

これらを下の図のように規則的にならべていきます。

　　

このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）図７では、ご石が何個使われていますか。

（２）図７では、棒は何本使われていますか。

（３）棒を８４０本使ったとき、何番目の図になりますか。

（４）使った棒とご石の数の差が２４００のときは、何番目の図ですか。

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　（１）用いるご石の数は、

図１では、２×２＝４個

図２では、３×３＝９個

図３では、４×４＝１６個

となっているので、

図７では、８×８＝６４個 です。

　

　（２）まず、棒の数え方を考えます。

たてと横の本数に注目して、下の図４のように

たての棒を赤丸、横の棒を青丸で表しました。

　

用いる棒の数は、

　図１では、２×２＝４本

　 図２では、３×４＝１２本

　 図３では、４×６＝２４本

のようになっており、

　 図Ａでは、（Ａ＋１）×Ａ×２ 本 と表すことができます。

　

よって、図７では、

　（７＋１）×７×２＝１１２本 とわかります。

　

　（３） （２）より、棒の本数は、

（□＋１）×□×２ ＝８４０ と表すことができ、

（□＋１）×□＝４２０ です。

　

４２０を因数分解すると、

　４２０＝６×７×１０＝２×３×７×２×５

　　　　　　　　　　　　 ＝２０×２１ となるので、

□＝２０ より、２０番目の図であることがわかります。

　

　（４） （３）までより、□番目の図のご石の数と棒の数は、

　ご石：（□＋１）×（□＋１）

　棒：（□＋１）×□×２

と表すことができることがわかりました。

　

この差が２４００なので、式は、

　（□＋１）×□×２－（□＋１）×（□＋１）＝２４００ となります。

　

ここで、式が見にくいので、□＋１＝△とすると、この式は、

　△×（△－１）×２－△×△＝２４００ となります。

これは、

　△×｛（△－１）×２－△｝＝２４００ となり、

　△×（△－２）＝２４００ となります。

　

（３）と同様に、２４００を因数分解すると、

　２４００＝２４×１００＝４８×５０ となるので、

　△＝５０ ということがわかります。

　

△＝□＋１ なので、□＝４９ と求められ、使ったご石と棒の

数の差が２４００になるのは、４９番目の図ということがわかります。

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