点の移動 （世田谷学園中学 2006年）

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円周の長さが１２ｃｍの円があり、円周を１２等分して、

図のように、１～１２の地点を作りました。

　　　　　

Ａ，Ｂ，Ｃがそれぞれ１，４，８の地点をスタートし、

Ａは毎秒８ｃｍ、Ｂは毎秒５ｃｍ、Ｃは毎秒１ｃｍの速さで

時計回りに移動します。このとき、次の問に答えなさい。

　
（１）Ａ，Ｂ，Ｃが移動を始めて２回目に同時に同じ地点にくるのは何秒後で、どの地点か答えなさい。

（２）（１）の後、Ａは反対方向（反時計回り）に毎秒２ｃｍの速さで、Ｂ，Ｃは変わらず同じ向き、速さで移動すると、（１）から何秒後にＡ，Ｂ，Ｃは同時に同じ地点にきて、どの地点なのか答えなさい。

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　（１）１秒後、Ａ，Ｂ，Ｃは同時に「９」の地点にくるので、

１回目の同時に同じ地点にくるのは１秒後です。

　

　問題は２回目です。

　

Ａは毎秒８ｃｍ、Ｂは毎秒５ｃｍ、Ｃは毎秒１ｃｍの速さで１周１２ｃｍの

円周上を移動するので、

ＡはＢに、１２÷（８－５）＝４秒ごとに追いつきます。

ＢはＣに、１２÷（５－１）＝３秒ごとに追いつきます。

ＡはＣに、１２÷（８－１）＝１２/７秒ごとに追いつきます。

　

それぞれ、すだれ算で最小公倍数を求めると、

１２秒ごとにＡ，Ｂ，Ｃが同じ地点にくることがわかり、

１２秒後には、Ｃは１×１２＝１２ｃｍ移動して、１周するので、

地点は同様に「９」の地点ということになります。

　

　よって、２回目にＡ，Ｂ，Ｃが同時に同じ地点にくるのは

１＋１２＝１３秒後で、「９」の地点です。　

　

　（２）Ａが反時計回りに毎秒２ｃｍの速さで移動すると、

ＢはＣに３秒ごとに追いつくのは変わらず、

ＡとＣは、１２÷（２＋１）＝４秒ごとに出会います。

ＡとＢは、１２÷（５＋１）＝２秒ごとに出会います。

　

よって、３，４，２の最小公倍数である１２秒ごとに

Ａ，Ｂ，Ｃは同じ地点にいることがわかり、１２秒でＣは１周するので、

（１）から１２秒後に、Ａ，Ｂ，Ｃは 「９」の地点に同時に出会います。

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