サイコロの目の出方は？（ラ・サール中学 2000年）

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サイコロをふって、３回同じ数が出たら終わりとし、

それまでに出た目の数を合計して得点とします。

　

（１）最大でサイコロを何回ふることができますか。

（２）４回で終わり、得点が１０点になるような目の出方は何通りありますか。

（３）得点が１０点になるような目の出方は何通りありますか。

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　（１）サイコロをふる回数が最大になるのは、１から６までの目を

すべて２回ずつ出した後、どれかの目を出したときで、

その回数は、６×２＋１＝１３回 です。

　

　（２）４回までの出た目の合計が１０になる目の出方は、

（１，３，３，３）、（４，２，２，２）の２通りあり、それぞれ最後の

４回目は３，２でなければならないので、目の出方は、

（１，３，３，３）、（３，１，３，３）、（３，３，１，３）、

（４，２，２，２）、（２，４，２，２）、（２，２，４，２） の６通り です。

　

　（３）３回目で１０点になることは、ありません。

　　　　　　　（１０は３で割り切れない）

　

●４回目で終わり得点が１０点になるのは、（２）より６通りあります。

　

●５回目で終わり得点が１０点になる場合を考えると、

（３，４，１，１，１）、（２，５，１，１，１）、（１，６，１，１，１）

（１，３，２，２，２）、（２，２，２，２，２）　、（０，１，３，３，３）

この３通りがあります。

　（３，４，１，１，１）の目の出方を考えると、最後は「１」ですので、

残りの（３，４，１，１）の並び方を考えます。

　

最初の目が３のとき、（１，１，４）の並び方 → ３通り

（３，４，１，１）、（３，１，４，１）、（３，１，１，４）

最初の目が４のとき、（１，１，３）の並び方 → ３通り

（４，３，１，１）、（４，１，３，１）、（４，１，１，３）

最初の目が１のとき、（１，３，４）の並び方 → ６通り

（１，１，４，３）、・・・（１，４，３，１）

　

よって、５回で終わり、得点が１０点になるのは１２×３＝３６通り

あります。

　

●６回目で終わり得点が１０点になる場合を考えると、

（１，１，１，２，２，３）、（１，１，１，１，２，４）

（２，２，２，１，１，２）

１通り あります。　

なお、ここで７回目で終わり得点が１０点になることはないことが

わかります。

　

最後の６回目は「１」なので、残りの（１，１，２，２，３）の出方は、

５回目に調べた目の出方を参考にすると、

　１回目が１のとき、残り（１，２，２，３）の並び方は、１２通り。

　１回目が２のとき、残り（１，１，２，３）の並び方は、１２通り。

　１回目が３のとき、残り（１，１，２，２、）の並び方は、６通り。

合計１２＋１２＋６＝３０通り あります。

　

　よって、得点が１０点になるような目の出方は、

６＋３６＋３０＝７２通り あります。

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