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2015年4月20日

2015年4月20日 (月)

連続した整数の掛け算 (豊島岡女子学園中学 2011年)

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1から50までの整数をすべてかけあわせた数をA とします。

 

A を、3,5,7,9,3,5,7,9,3,・・・ の順番にくり返し

 

割っていきます。

 

  A÷3

 

  (A÷3)÷5

 

  (A÷3÷5)÷7

 

  (A÷3÷5÷7)÷9

 

  (A÷3÷5÷7÷9)÷3

 

   ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 

このとき、はじめて割り切れなくなるのは、3,5,7,9 のうち

 

どれで割ったときですか。

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 9で割ると、50÷9=5あまり5 なので、5回しか割り切れない、

と考えてしまうかもしれませんが、3×6=18 のように、

 3の倍数×3の倍数 を計算したものは、9で割りきれます。

 

 5では、50÷5=10回 と、25,50がそれぞれ2回5で割り

切れる(5×5=25)ことから、10+2=12回割り切れます。

 

 7では、50÷7=7回 と、49が2回7で割り切れることから

7+1=8回割り切れ、9回目から割り切れません。

 

 9は最初に計算したように、5回は割り切れます。あと3回、9で

割りきることができるか考えましょう。

 

 50までに、3の倍数は16個、9の倍数は5個 あります。

さらに注意したいのは、27=3×9 です。

3の倍数16個の中には、9の倍数5個も含まれ、その中に27が

あるので、3だけで割れる個数は、16-5+1=12個、

9で直接割れる個数は5個ですね。

 

9で5回まで割ったとき、3の倍数は残り7個、9の倍数は残り0個

となっていて、3,5,7,9が6回目の操作に入ると、

残った6個の3の倍数のうち、÷3 で1個、÷9 で2個 使い、

3の倍数は残り4個 となります。

 

7回目の操作で、同様に、÷3 で1個、÷9 で2個 使い、

3の倍数は残り1個 となります。 

 

すなわち、8回目の操作では、3では割れますが、9では

割ることができません。

 

以上より、はじめて割り切れなくなるのは、9 で割ったときです。

 

【27】= 3×9 を見落とさずに解けるかどうかがポイントです。

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