約数と倍数は？（灘中学 1999年）

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次のように、２つの整数の積を作ります。

　　１×１９９８、２×１９９７、３×１９９６、・・・、９９９×１０００

　これら９９９個のうち、１２で割り切れるものは何個ありますか。

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　９９９個の積は、すべて「奇数×偶数」または「偶数×奇数」です。

　

１２で割り切れるには、

　①片方が１２の倍数である

　②ともに１２の倍数ではないが、積になることで１２の倍数になる

のどちらかの条件が必要です。

　

　①について、まず積の左側（１，２，３、・・・）は、１２番目（１２）が

割り切れます。

　次に右側（１９９８，１９９７、・・・）は、

１９９８÷１２＝１６６あまり６なので、

１９９２÷１２＝１６６ より、

　１×１９９８、２×１９９７、３×１９９６、４×１９９５、５×１９９４、

　６×１９９５、７×１９９４、８×１９９３、９×１９９２、１０×１９９１、

１１×１９９０、１２×１９８９　となり、

　１２個のうち２個が割り切れることがわかります。

　

　次に②について、１２＝２×６＝３×４ で、

積がすべて「奇数×偶数」または「偶数×奇数」なので、

奇数側が３の倍数で、偶数側が４の倍数であるものは、

１２で割り切れることがわかります。

（２の倍数×６の倍数は、偶数×偶数になるため）

　

①と②をあわせると、下の太字のものが１２で割り切れ、

　１×１９９８、２×１９９７、３×１９９６、４×１９９５、５×１９９４、

　６×１９９３、７×１９９２、８×１９９１、９×１９９０、１０×１９８９、

１１×１９９０、１２×１９８９　となり、

　１２個のうち、４個が１２で割り切れることがわかります。

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