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2015年4月16日 (木)

2015年4月16日 (木)

点の移動 (世田谷学園中学 2006年)

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円周の長さが12cmの円があり、円周を12等分して、

図のように、1~12の地点を作りました。

     

A,B,Cがそれぞれ1,4,8の地点をスタートし、

Aは毎秒8cm、Bは毎秒5cm、Cは毎秒1cmの速さで

時計回りに移動します。このとき、次の問に答えなさい。

 
(1)A,B,Cが移動を始めて2回目に同時に同じ地点にくるのは何秒後で、どの地点か答えなさい。

(2)(1)の後、Aは反対方向(反時計回り)に毎秒2cmの速さで、B,Cは変わらず同じ向き、速さで移動すると、(1)から何秒後にA,B,Cは同時に同じ地点にきて、どの地点なのか答えなさい。

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 (1)1秒後、A,B,Cは同時に「9」の地点にくるので、

1回目の同時に同じ地点にくるのは1秒後です。

 

 問題は2回目です。

 

Aは毎秒8cm、Bは毎秒5cm、Cは毎秒1cmの速さで1周12cmの

円周上を移動するので、

AはBに、12÷(8-5)=4秒ごとに追いつきます。

BはCに、12÷(5-1)=3秒ごとに追いつきます。

AはCに、12÷(8-1)=12/7秒ごとに追いつきます。

 

それぞれ、すだれ算で最小公倍数を求めると、

12秒ごとにA,B,Cが同じ地点にくることがわかり、

12秒後には、Cは1×12=12cm移動して、1周するので、

地点は同様に「9」の地点ということになります。

 

 よって、2回目にA,B,Cが同時に同じ地点にくるのは

1+12=13秒後で、「9」の地点です。 

 

 (2)Aが反時計回りに毎秒2cmの速さで移動すると、

BはCに3秒ごとに追いつくのは変わらず、

AとCは、12÷(2+1)=4秒ごとに出会います。

AとBは、12÷(5+1)=2秒ごとに出会います。

 

よって、3,4,2の最小公倍数である12秒ごとに

A,B,Cは同じ地点にいることがわかり、12秒でCは1周するので、

(1)から12秒後に、A,B,Cは 「9」の地点に同時に出会います。

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