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2015年4月11日 (土)

2015年4月11日 (土)

約数と倍数は?(灘中学 1999年)

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次のように、2つの整数の積を作ります。

  1×1998、2×1997、3×1996、・・・、999×1000

 これら999個のうち、12で割り切れるものは何個ありますか。

Pce022s

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 999個の積は、すべて「奇数×偶数」または「偶数×奇数」です。

 

12で割り切れるには、

 ①片方が12の倍数である

 ②ともに12の倍数ではないが、積になることで12の倍数になる

のどちらかの条件が必要です。

 

 ①について、まず積の左側(1,2,3、・・・)は、12番目(12)が

割り切れます。

 次に右側(1998,1997、・・・)は、

1998÷12=166あまり6なので、

1992÷12=166 より、

 1×1998、2×1997、3×1996、4×1995、5×1994、

 6×1995、7×1994、8×1993、9×1992、10×1991、

11×1990、12×1989 となり、

 12個のうち2個が割り切れることがわかります。

 

 次に②について、12=2×6=3×4 で、

積がすべて「奇数×偶数」または「偶数×奇数」なので、

奇数側が3の倍数で、偶数側が4の倍数であるものは、

12で割り切れることがわかります。

(2の倍数×6の倍数は、偶数×偶数になるため)

 

①と②をあわせると、下の太字のものが12で割り切れ、

 1×1998、2×1997、3×1996、4×1995、5×1994、

 6×1993、7×1992、8×1991、9×1990、10×1989、

11×1990、12×1989 となり、

 12個のうち、4個が12で割り切れることがわかります。

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