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2015年3月 6日 (金)

玉の受け渡し (智辯学園和歌山中学 2011年)

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A君とB君は初めに赤玉と白玉をいくつか持っています。

まず、A君の持っている赤玉を、その個数の4分の1だけB君に渡し、

それと同じ個数の白玉をB君からA君に渡します。

次に、B君の持っている赤玉を、その個数の3分の1と2個だけA君に渡し、

それと同じ個数の白玉をA君からB君に渡します。

その結果、A君の持っている白玉の個数は初めよりも3個少なく、

B君の持っている赤玉の個数は、初めの5分の4になりました。

  このとき、次の問に答えなさい。

(1)B君が最後に持っている赤玉の個数は、初めより何個少ないですか。

(2)A君が最後に持っている赤玉の個数は何個ですか。

Cocolog_oekaki_2015_03_06_09_32

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 最初にA君が持っている赤玉の数をA個、B君が持っている

赤玉の数をB個とすると、文章の流れは、下の図1のように描く

ことができると思います。最初の状態を①、1回目の作業後を②、

2回目の作業後を③として表しています。

③で、②のときB君の持っていた赤玉のうち、3分の1と2個を

A君に渡すと、残りが最初の5分の4になるので、②のときB君が

持っている赤玉の3分の2が、最初の5分の4個と、2個なので、

②のときB君が持っている赤玉の3分の1は、

   最初の5分の2個と1個

となり、B君からA君に渡した赤玉の数=A君からB君に渡した

白玉の数=最初の5分の2個 と3個 と表すことができます。

 

 (1)次のことに気づくかどうかです。

 

A君が持っている赤玉の数と、B君が持っている赤玉の数の合計

は、最初から最後まで変化なし。

 

A君が持っている赤玉の数と白玉の数の合計、

B君が持っている赤玉の数と白玉の数の合計は、

ともに最初から最後まで変化なし。

 

よって、A君が持っている白玉の数が最初より3個少ないので、

B君が持っている白玉の数は、最初より3個多くなり、その結果、

B君が持っている赤玉の数は、最初より3個少なくなることが

わかります。

 

 (2)図1の②のとき、Bが持っている赤玉の数は、

最初の5分の6個と3個(6/5 B +3個)なので、

増えたAの4分の1個 というのは、Bの5分の1個+3個です。

 

(1)より、Bの赤玉の個数は3個減っていて、これが5分の1に

当たるので、Bは初め15個の赤玉を持っていたことになります。

 

よって、Aの4分の1個は、15÷5+3=6個 なので、

Aは最初に6×4=24個の赤玉を持っていたことになります。

 

24個が4分の3の18個になり、18個に15×2/5+3=9個

が加わるので、A君が最後に持っている赤玉の個数は、

   18+9=27個 です。

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