玉の受け渡し （智辯学園和歌山中学 2011年）

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Ａ君とＢ君は初めに赤玉と白玉をいくつか持っています。

まず、Ａ君の持っている赤玉を、その個数の４分の１だけＢ君に渡し、

それと同じ個数の白玉をＢ君からＡ君に渡します。

次に、Ｂ君の持っている赤玉を、その個数の３分の１と２個だけＡ君に渡し、

それと同じ個数の白玉をＡ君からＢ君に渡します。

その結果、Ａ君の持っている白玉の個数は初めよりも３個少なく、

Ｂ君の持っている赤玉の個数は、初めの５分の４になりました。

　 このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｂ君が最後に持っている赤玉の個数は、初めより何個少ないですか。

（２）Ａ君が最後に持っている赤玉の個数は何個ですか。

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　最初にＡ君が持っている赤玉の数をＡ個、Ｂ君が持っている

赤玉の数をＢ個とすると、文章の流れは、下の図１のように描く

ことができると思います。最初の状態を①、１回目の作業後を②、

２回目の作業後を③として表しています。

③で、②のときＢ君の持っていた赤玉のうち、３分の１と２個を

Ａ君に渡すと、残りが最初の５分の４になるので、②のときＢ君が

持っている赤玉の３分の２が、最初の５分の４個と、２個なので、

②のときＢ君が持っている赤玉の３分の１は、

　　 最初の５分の２個と１個

となり、Ｂ君からＡ君に渡した赤玉の数＝Ａ君からＢ君に渡した

白玉の数＝最初の５分の２個 と３個 と表すことができます。

　

　（１）次のことに気づくかどうかです。

　

Ａ君が持っている赤玉の数と、Ｂ君が持っている赤玉の数の合計

は、最初から最後まで変化なし。

　

Ａ君が持っている赤玉の数と白玉の数の合計、

Ｂ君が持っている赤玉の数と白玉の数の合計は、

ともに最初から最後まで変化なし。

　

よって、Ａ君が持っている白玉の数が最初より３個少ないので、

Ｂ君が持っている白玉の数は、最初より３個多くなり、その結果、

Ｂ君が持っている赤玉の数は、最初より３個少なくなることが

わかります。

　

　（２）図１の②のとき、Ｂが持っている赤玉の数は、

最初の５分の６個と３個（６/５ Ｂ ＋３個）なので、

増えたＡの４分の１個 というのは、Ｂの５分の１個＋３個です。

　

（１）より、Ｂの赤玉の個数は３個減っていて、これが５分の１に

当たるので、Ｂは初め１５個の赤玉を持っていたことになります。

　

よって、Ａの４分の１個は、１５÷５＋３＝６個 なので、

Ａは最初に６×４＝２４個の赤玉を持っていたことになります。

　

２４個が４分の３の１８個になり、１８個に１５×２/５＋３＝９個

が加わるので、Ａ君が最後に持っている赤玉の個数は、

　　　１８＋９＝２７個 です。

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