玉の受け渡し (智辯学園和歌山中学 2011年)
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A君とB君は初めに赤玉と白玉をいくつか持っています。
まず、A君の持っている赤玉を、その個数の4分の1だけB君に渡し、
それと同じ個数の白玉をB君からA君に渡します。
次に、B君の持っている赤玉を、その個数の3分の1と2個だけA君に渡し、
それと同じ個数の白玉をA君からB君に渡します。
その結果、A君の持っている白玉の個数は初めよりも3個少なく、
B君の持っている赤玉の個数は、初めの5分の4になりました。
このとき、次の問に答えなさい。
(1)B君が最後に持っている赤玉の個数は、初めより何個少ないですか。
(2)A君が最後に持っている赤玉の個数は何個ですか。
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最初にA君が持っている赤玉の数をA個、B君が持っている
赤玉の数をB個とすると、文章の流れは、下の図1のように描く
ことができると思います。最初の状態を①、1回目の作業後を②、
2回目の作業後を③として表しています。
③で、②のときB君の持っていた赤玉のうち、3分の1と2個を
A君に渡すと、残りが最初の5分の4になるので、②のときB君が
持っている赤玉の3分の2が、最初の5分の4個と、2個なので、
②のときB君が持っている赤玉の3分の1は、
最初の5分の2個と1個
となり、B君からA君に渡した赤玉の数=A君からB君に渡した
白玉の数=最初の5分の2個 と3個 と表すことができます。
(1)次のことに気づくかどうかです。
A君が持っている赤玉の数と、B君が持っている赤玉の数の合計
は、最初から最後まで変化なし。
A君が持っている赤玉の数と白玉の数の合計、
B君が持っている赤玉の数と白玉の数の合計は、
ともに最初から最後まで変化なし。
よって、A君が持っている白玉の数が最初より3個少ないので、
B君が持っている白玉の数は、最初より3個多くなり、その結果、
B君が持っている赤玉の数は、最初より3個少なくなることが
わかります。
(2)図1の②のとき、Bが持っている赤玉の数は、
最初の5分の6個と3個(6/5 B +3個)なので、
増えたAの4分の1個 というのは、Bの5分の1個+3個です。
(1)より、Bの赤玉の個数は3個減っていて、これが5分の1に
当たるので、Bは初め15個の赤玉を持っていたことになります。
よって、Aの4分の1個は、15÷5+3=6個 なので、
Aは最初に6×4=24個の赤玉を持っていたことになります。
24個が4分の3の18個になり、18個に15×2/5+3=9個
が加わるので、A君が最後に持っている赤玉の個数は、
18+9=27個 です。
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