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2015年3月21日 (土)

グラフで考える旅人算 (関西学院中学 2010年)

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太郎君は午前9時にA町を出発し、9kmはなれたB町に午後11時に着きました。途中1回休みましたが、休んだ後は休む前の1.5倍の速さで歩きました。
次郎君は同じ日の午前9時にB町を出発してA町に向かいました。途中1回休みましたが、歩く早さは変えず、太郎君より15分早くA町に着きました。
下のグラフは、その様子を表したものです。2人が出会った時刻は、何時何分何秒ですか。

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 まず、次郎君がA町に着いたのは、10時45分です。

 

 次に、グラフより、太郎君が3km地点に着いた時刻と、

次郎君がA町から6kmの地点を出発する時刻が同じで、

太郎君がA町から3km地点へ向かう速度と次郎君の速度の

比が2:3なので、下の図1のように、

太郎君が3km進み、次郎君が6km進むことに注意すると、

  9時から時刻C までの時間 : 時刻C から10:45までの時間

= 3  :  4  とわかります。

 

よって、時刻C は、1時間45分(105分)を3:4に分けて、

9時45分 です。

 

このことから、太郎君は、最初45分で3km進む速さ、

つまり、時速4km で歩き、その後は1.5倍の時速6kmで

歩いたということがわかります。

 

太郎君の速さがわかったので、太郎君が3km地点を出発した

時刻(下の図2の時刻D)がわかります。

太郎君は3kmから9kmの6kmを時速6kmで歩くので、

1時間かかり、時刻D=10時 です。

 

この先の解き方は色々あると思いますが、今回は以下のように

解きたいと思います。

 

下の図3のように、太郎君がA町からずっと時速6kmで歩いて

11時にB町に着いたとすると、

太郎君がA町を出発する時刻E は、9時30分です。

 

このとき、太郎君と、A町に10時45分に着く次郎君が

出会う時刻F をはさんで、グラフ上に二等辺三角形ができます。

すなわち、時刻F から9時30分までと、時刻F から10時45分

までは同じ時間です。

 

よって、時刻F は、

 9時30分 + (10時45分 - 9時30分) ÷ 2

=10時7分30秒 とわかります。

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