この図形の性質は？（フェリス女学院中学 2009年）

ＡＢ＝ＡＣ、辺ＢＣの長さが６ｃｍの二等辺三角形ＡＢＣがあります。

頂点Ａから辺ＢＣに垂直な線を引き、交点を点Ｄとします。

また、頂点Ｃから辺ＡＢに垂直な線を引き、交点をＥとします。

ＡＤとＣＥの交点をＦとするとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　

（１）角ＡＣＦの大きさを求めなさい。

（２）ＡＦの長さを求めなさい。

（３）三角形ＡＣＦの面積を求めなさい。

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　（１）三角形ＡＢＣは二等辺三角形なので、

角ＡＣＢ＝角ＡＢＣ＝６７．５°、角ＢＡＣ＝１８０－６７．５×２＝４５°

　

直角三角形ＢＣＥ において、

　角ＢＣＥ＝１８０－（９０＋６７．５）＝２２．５°なので、

角ＡＣＦ＝６７．５－２２．５＝４５°となります。

　

　（２）三角形ＡＣＥにおいて、角ＣＡＥ＝角ＡＣＥ＝４５°なので、

三角形ＡＣＥは直角二等辺三角形で、ＡＥ＝ＣＥ とわかります。

　

次に、直角三角形ＡＥＦ と直角三角形ＣＥＢに注目すると、

角ＢＥＣ＝角ＦＥＡ、角ＢＡＦ＝角ＢＣＥ、角ＡＦＥ＝角ＢＥＣ、

ＡＥ＝ＣＥ なので、

　　　　　　　

三角形ＡＥＦと三角形ＣＥＢは合同であることがわかり、

ＡＦ＝ＢＣ＝６ｃｍ となります。

　

　（３）三角形ＡＦＣは、底辺ＡＦ＝６ｃｍ、高さＣＤ＝３ｃｍの三角形で、

その面積は、６×３÷２＝９ｃ㎡ です。

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