周回移動すると？（ラ・サール中学 2008年）

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下の図のように、点Ｏを中心とする３つの円があり、半径はそれぞれ１ｍ、２ｍ、３ｍです。いちばん内側の円周上では、点Ａ が、まん中の円周上では点Ｂが、いちばん外側の円周上では点Ｃ が、それぞれ時計回りに動いていて、速さの比は、Ａ，Ｂ，Ｃの順に、１：３：２ です。

図のように、Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ がこの順に一直線上にある状態からスタートし、点Ａ は１２秒で１周するとして、次の問に答えなさい。

（１）３点Ａ，Ｂ，Ｃ が初めて同時にスタートの位置に戻るまでにそれぞれの点は円を何周するか求めなさい。

（２）（１）のとき、ＯＡ とＯＢ が作る角度が９０度になることは何回ありますか。

（３）スタートしてから１０分間に、

　　 （ア）ＯＡ とＯＢ が作る角度が９０度になることは何回ありますか。

　　 （イ）ＯＡ とＯＣ が作る角度が９０度になることは何回ありますか。

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　（１）３つの円の円周の長さの比は、

内　：　中　：　外　＝　①　：　②　：　③　です。

　

Ａ，Ｂ，Ｃ の速さの比が 【１】　：　【３】　：　【２】なので、

Ａ，Ｂ，Ｃ が１周するのにかかる時間の比は、

　 ① ÷ 【１】 　： 　② ÷ 【３】 　： 　③ ÷ 【２】

＝　［　１　］　：　［　２/３　］　：　［　３/２　］

＝　［　６　］　：　［　４　］　：　［　９　］　です。

　

点Ａ が１２秒で１周するので、点Ｂ は８秒、点Ｃは１８秒 で

１周します。

　

点Ａ，Ｂ．Ｃ，Ｏ が一直線上に並ぶのは、

１２，８，１８ の最小公倍数を調べればよく、７２秒後です。

　

７２秒後までに、点Ａは、７２÷１２＝６周

　　　　　　　　　  点Ｂは、７２÷８＝９周

　　　　　　　　　　点Ｃは、７２÷１８＝４周　それぞれします。

　

　

　（２）７２秒後までに、ＯＡ とＯＢ が作る角度が９０度になることが

何回あるか調べます。

　

点Ａ は、１２秒で３６０度移動（一周）するので、１秒に３０度、

点Ｂ は、８秒で３６０度移動（一周）するので、１秒に４５度、

点Ｃ は、１８秒で３６０度移動（一周）するので、１秒に２０度

という速さで移動します。　

　

よって、点Ａ と点Ｂ は、１秒あたり１５度ずつ離れていくので

ＯＡ とＯＢ が作る角度が９０度になるのは、６秒後、

ＯＡ とＯＢ が作る角度が２７０度になるのは、１８秒後、

ＯＡ とＯＢ が作る角度が４５０度になるのは、３０秒後、

というように、１２秒ごとに９０度になります。

　

すなわち、６，１８，３０，４２，５４，６６秒後 の６回 とわかります。

　

　

　（３）１０分＝６００秒です。

（ア）ＯＡ とＯＢ が作る角度が９０度になるのは、

　　 ６，１８，３０，４２，５４，６６，・・・，５９４秒後まで、

　　 ６００÷１２＝５０回 あります。（６を足すと１２の倍数なので）

　

（イ）点Ａ は１秒に３０度、点Ｃ は１秒に２０度 移動するので、

　最初にＯＡ とＯＣ が作る角度が９０度になるのは、９秒後、

　ＯＡ とＯＣ が作る角度が２７０度になるのは、２７秒後、

　ＯＡ とＯＣ が作る角度が４５０度になるのは、４５秒後、

と、１８秒ごとに９０度になり、１０分（６００秒）後までなので、

　ＯＡ とＯＣ が作る角度が９０度になるのは、

　（６００－９）÷１８＝３２あまり１５ より、３２＋１＝３３回 です。

　

なお、最後に９０度になるのは、１８×３２＋９＝５８５秒後 です。

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