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2015年3月12日 (木)

周回移動すると?(ラ・サール中学 2008年)

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下の図のように、点Oを中心とする3つの円があり、半径はそれぞれ1m、2m、3mです。いちばん内側の円周上では、点A が、まん中の円周上では点Bが、いちばん外側の円周上では点C が、それぞれ時計回りに動いていて、速さの比は、A,B,Cの順に、1:3:2 です。

図のように、O,A,B,C がこの順に一直線上にある状態からスタートし、点A は12秒で1周するとして、次の問に答えなさい。

(1)3点A,B,C が初めて同時にスタートの位置に戻るまでにそれぞれの点は円を何周するか求めなさい。

(2)(1)のとき、OA とOB が作る角度が90度になることは何回ありますか。

(3)スタートしてから10分間に、

   (ア)OA とOB が作る角度が90度になることは何回ありますか。

   (イ)OA とOC が作る角度が90度になることは何回ありますか。

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 (1)3つの円の円周の長さの比は、

内 : 中 : 外 = ① : ② : ③ です。

 

A,B,C の速さの比が 【1】 : 【3】 : 【2】なので、

A,B,C が1周するのにかかる時間の比は、

  ① ÷ 【1】  :  ② ÷ 【3】  :  ③ ÷ 【2】

= [ 1 ] : [ 2/3 ] : [ 3/2 ]

= [ 6 ] : [ 4 ] : [ 9 ] です。

 

点A が12秒で1周するので、点B は8秒、点Cは18秒 で

1周します。

 

点A,B.C,O が一直線上に並ぶのは、

12,8,18 の最小公倍数を調べればよく、72秒後です。

 

72秒後までに、点Aは、72÷12=6周

           点Bは、72÷8=9周

          点Cは、72÷18=4周 それぞれします。

 

 

 (2)72秒後までに、OA とOB が作る角度が90度になることが

何回あるか調べます。

 

点A は、12秒で360度移動(一周)するので、1秒に30度、

点B は、8秒で360度移動(一周)するので、1秒に45度、

点C は、18秒で360度移動(一周)するので、1秒に20度

という速さで移動します。 

 

よって、点A と点B は、1秒あたり15度ずつ離れていくので

OA とOB が作る角度が90度になるのは、6秒後、

OA とOB が作る角度が270度になるのは、18秒後、

OA とOB が作る角度が450度になるのは、30秒後、

というように、12秒ごとに90度になります。

 

すなわち、6,18,30,42,54,66秒後 の6回 とわかります。

 

 

 (3)10分=600秒です。

(ア)OA とOB が作る角度が90度になるのは、

   6,18,30,42,54,66,・・・,594秒後まで、

   600÷12=50回 あります。(6を足すと12の倍数なので)

 

(イ)点A は1秒に30度、点C は1秒に20度 移動するので、

 最初にOA とOC が作る角度が90度になるのは、9秒後、

 OA とOC が作る角度が270度になるのは、27秒後、

 OA とOC が作る角度が450度になるのは、45秒後、

と、18秒ごとに90度になり、10分(600秒)後までなので、

 OA とOC が作る角度が90度になるのは、

 (600-9)÷18=32あまり15 より、32+1=33回 です。

 

なお、最後に90度になるのは、18×32+9=585秒後 です。

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