周回移動すると?(ラ・サール中学 2008年)
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下の図のように、点Oを中心とする3つの円があり、半径はそれぞれ1m、2m、3mです。いちばん内側の円周上では、点A
が、まん中の円周上では点Bが、いちばん外側の円周上では点C
が、それぞれ時計回りに動いていて、速さの比は、A,B,Cの順に、1:3:2 です。
図のように、O,A,B,C がこの順に一直線上にある状態からスタートし、点A
は12秒で1周するとして、次の問に答えなさい。
(1)3点A,B,C
が初めて同時にスタートの位置に戻るまでにそれぞれの点は円を何周するか求めなさい。
(2)(1)のとき、OA とOB
が作る角度が90度になることは何回ありますか。
(3)スタートしてから10分間に、
(ア)OA とOB
が作る角度が90度になることは何回ありますか。
(イ)OA とOC
が作る角度が90度になることは何回ありますか。
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(1)3つの円の円周の長さの比は、
内 : 中 : 外 = ① : ② : ③ です。
A,B,C の速さの比が 【1】 : 【3】 : 【2】なので、
A,B,C が1周するのにかかる時間の比は、
① ÷ 【1】 : ② ÷ 【3】 : ③ ÷ 【2】
= [ 1 ] : [ 2/3 ] : [ 3/2 ]
= [ 6 ] : [ 4 ] : [ 9 ] です。
点A が12秒で1周するので、点B は8秒、点Cは18秒 で
1周します。
点A,B.C,O が一直線上に並ぶのは、
12,8,18 の最小公倍数を調べればよく、72秒後です。
72秒後までに、点Aは、72÷12=6周
点Bは、72÷8=9周
点Cは、72÷18=4周 それぞれします。
(2)72秒後までに、OA とOB が作る角度が90度になることが
何回あるか調べます。
点A は、12秒で360度移動(一周)するので、1秒に30度、
点B は、8秒で360度移動(一周)するので、1秒に45度、
点C は、18秒で360度移動(一周)するので、1秒に20度
という速さで移動します。
よって、点A と点B は、1秒あたり15度ずつ離れていくので
OA とOB が作る角度が90度になるのは、6秒後、
OA とOB が作る角度が270度になるのは、18秒後、
OA とOB が作る角度が450度になるのは、30秒後、
というように、12秒ごとに90度になります。
すなわち、6,18,30,42,54,66秒後 の6回 とわかります。
(3)10分=600秒です。
(ア)OA とOB が作る角度が90度になるのは、
6,18,30,42,54,66,・・・,594秒後まで、
600÷12=50回 あります。(6を足すと12の倍数なので)
(イ)点A は1秒に30度、点C は1秒に20度 移動するので、
最初にOA とOC が作る角度が90度になるのは、9秒後、
OA とOC が作る角度が270度になるのは、27秒後、
OA とOC が作る角度が450度になるのは、45秒後、
と、18秒ごとに90度になり、10分(600秒)後までなので、
OA とOC が作る角度が90度になるのは、
(600-9)÷18=32あまり15 より、32+1=33回 です。
なお、最後に90度になるのは、18×32+9=585秒後 です。
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