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2015年3月29日 (日)

円柱の周りを回る点の動きは?(ラ・サール中学 2000年)

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円柱があり、正面から見て長方形に見えるときの頂点をA,B,C,Dとします。

点PがAを出発して、円柱の周りを2回周って、最短ルートでDへ向かいます。

また、点QはBを出発して、円柱の周りを1回周って、最短ルートでCへ向かいます。

         

いま点P,Qが同時にA,Bを出発して一定の速度で移動したところ、

180秒後に同時にC,Dに着きました。

このとき次の問に答えなさい。

(1)点P,Qの作る線PQを真上から見たとき、

底面の円の直径ABと垂直になるのは出発から何秒後か全て答えなさい。

(2)点P,Qの作る線PQの長さが、

円柱の底面の円の半径の長さと等しくなるのは出発から何秒後か、全て答えなさい。

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 (1)点P、Qは同時に底面を出発し、同時に上面に着いている

ので、点P,Qは常に底面からの高さが等しいことになり、

線PQは常に底面と平行ということになります。

 

線PQがABと垂直に交わるのは、点Pが正面側にあり、点Qが

裏側にいるときと、点Pが裏側で点Qが正面側にいるときの

2回考えられます。(下の図1)

      

このとき、点Pは円柱を2周、点Qは円柱を1周するので、

点Pが移動した距離AP(図1の青線)は、点Qが移動した

距離BQ(図1の赤線)の2倍ということになります。

  (点Pが1周する間に点Qは半周するので)

ということは、図1の円の中心をOとすると、

角AOP=角BOQの2倍 ということがわかります。

角BOQ=角BOPでもあり、角BOP+角AOP=180度より、

角AOP=120度、角BOP=60度ということがわかります。

 

すると、点Pが120度(または点Qが60度)進むのは

何秒かかるのかを調べればよいことになります。

 

点Pは2周を180秒、すなわち、360×2=720度を180秒

かかるので、120度移動するには、180÷720×120=30秒

ということがわかります。

 

出発から30秒後ということがわかりましたので、対称性から

点PがDに着く30秒前にもABと線PQは垂直になり、

2回目に垂直になるのは、180-30=150秒後

ということになります。 

  

 

(2)最初、点Pは点Qと180度はなれています。

移動するにつれて、角度の差は0度に近づき、点Pが1周すると

点Qと重なって、0度になります。(下の図2)

       

線PQの長さが半径と等しくなるということは、下の図3のように

       

三角形OPQが正三角形になるということになるので、

角POQ=60度です。

 

点Pは90秒で点Qに追いつくので、(角度180度→0度)

1秒に2度ずつ差がなくなり、角POQ=60度になるのは、

出発してから (180-60)÷2=60秒後 となります。

 

また、対称性から、点PがDに着く60秒前、すなわち

出発してから 180-60=120秒後 にも線PQは半径と同じ

長さになります。

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