円柱の周りを回る点の動きは？（ラ・サール中学 2000年）

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円柱があり、正面から見て長方形に見えるときの頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。

点ＰがＡを出発して、円柱の周りを２回周って、最短ルートでＤへ向かいます。

また、点ＱはＢを出発して、円柱の周りを１回周って、最短ルートでＣへ向かいます。

　　　　　　　　　

いま点Ｐ，Ｑが同時にＡ，Ｂを出発して一定の速度で移動したところ、

１８０秒後に同時にＣ，Ｄに着きました。

このとき次の問に答えなさい。

（１）点Ｐ，Ｑの作る線ＰＱを真上から見たとき、

底面の円の直径ＡＢと垂直になるのは出発から何秒後か全て答えなさい。

（２）点Ｐ，Ｑの作る線ＰＱの長さが、

円柱の底面の円の半径の長さと等しくなるのは出発から何秒後か、全て答えなさい。

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　（１）点Ｐ、Ｑは同時に底面を出発し、同時に上面に着いている

ので、点Ｐ，Ｑは常に底面からの高さが等しいことになり、

線ＰＱは常に底面と平行ということになります。

　

線ＰＱがＡＢと垂直に交わるのは、点Ｐが正面側にあり、点Ｑが

裏側にいるときと、点Ｐが裏側で点Ｑが正面側にいるときの

２回考えられます。（下の図１）

　　　　　　

このとき、点Ｐは円柱を２周、点Ｑは円柱を１周するので、

点Ｐが移動した距離ＡＰ（図１の青線）は、点Ｑが移動した

距離ＢＱ（図１の赤線）の２倍ということになります。

　　（点Ｐが１周する間に点Ｑは半周するので）

ということは、図１の円の中心をＯとすると、

角ＡＯＰ＝角ＢＯＱの２倍 ということがわかります。

角ＢＯＱ＝角ＢＯＰでもあり、角ＢＯＰ＋角ＡＯＰ＝１８０度より、

角ＡＯＰ＝１２０度、角ＢＯＰ＝６０度ということがわかります。

　

すると、点Ｐが１２０度（または点Ｑが６０度）進むのは

何秒かかるのかを調べればよいことになります。

　

点Ｐは２周を１８０秒、すなわち、３６０×２＝７２０度を１８０秒

かかるので、１２０度移動するには、１８０÷７２０×１２０＝３０秒

ということがわかります。

　

出発から３０秒後ということがわかりましたので、対称性から

点ＰがＤに着く３０秒前にもＡＢと線ＰＱは垂直になり、

２回目に垂直になるのは、１８０-３０＝１５０秒後

ということになります。　

　　

　

（２）最初、点Ｐは点Ｑと１８０度はなれています。

移動するにつれて、角度の差は０度に近づき、点Ｐが１周すると

点Ｑと重なって、０度になります。（下の図２）

　　　　　　　

線ＰＱの長さが半径と等しくなるということは、下の図３のように

　　　　　　　

三角形ＯＰＱが正三角形になるということになるので、

角ＰＯＱ＝６０度です。

　

点Ｐは９０秒で点Ｑに追いつくので、（角度１８０度→０度）

１秒に２度ずつ差がなくなり、角ＰＯＱ＝６０度になるのは、

出発してから （１８０－６０）÷２＝６０秒後 となります。

　

また、対称性から、点ＰがＤに着く６０秒前、すなわち

出発してから １８０－６０＝１２０秒後 にも線ＰＱは半径と同じ

長さになります。

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