整数の操作計算問題

整数をいくつかの整数の和で表し、

和を作る整数をかけてできる数について考えます。

たとえば、５について考えると、

１＋１＋１＋１＋１、１＋１＋１＋２、１＋１＋３ など６通りあり、

このうち、現れる整数をかけて最も大きくなるのは、２＋３のときで、

２×３＝６となります。

また、１＋１＋３ と、１＋３＋１と、３＋１＋１は同じものとみなすこととし、

次の問に答えなさい。

（１）整数「６」について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。

（２）整数「１６」について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。

（３）ある整数について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするには、どのようにすればよいのか答えなさい。

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　（１）６＝１＋１＋１＋１＋１＋１　とすると、現れる数をかけると

　　　 １×１×１×１×１×１＝１ です。

６＝２＋１＋１＋１＋１　とすると、かけてできる数は「２」

６＝３＋１＋１＋１　とすると、かけてできる数は「３」

６＝４＋１＋１　とすると、かけてできる数は「４」

６＝５＋１　とすると、かけてできる数は「５」　　です。

　

６＝２＋２＋２　とすると、かけてできる数は２×２×２＝「８」です。

６＝２＋３＋１　とすると、かけてできる数は「６」です。

６＝２＋４ とすると、かけてできる数は「８」です。

　

６＝３＋３　とすると、かけてできる数は、「９」です。

　

よって、もっとも大きくすると「９」になります。

　

　（２）４＝２＋２　なので、「４」を１つ使うことと「２」を２つ使うことは

同じ結果となります。

５＝２＋３ なので、「５」を１つ使うことよりも、「２」と「３」に分けて

２×３＝６ として使う方が大きい結果となります。

　

以降も、「６」は「３」と「３」に分ける方が大きい結果に、

「７」は「３」、「２」、「２」に分ける方が大きい結果に、

「８」は「２」を３つ、「９」は「３」を２つ使うことに等しく、

「１０」も「５」と「５」に分けた方が大きい結果となり、

さらに「５」は「２」と「３」に分けた方が大きい結果となります。

　

１６＝２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２　とすると、

２×２×２×２×２×２×２×２＝２５６

　

ここで、「６」＝２＋２＋２ としたときと、「６」＝３＋３ としたときでは、

３＋３の方が大きい結果となるので、

１６＝３＋３＋３＋３＋２＋２ として、

３×３×３×３×２×２＝３２４ がもっとも大きくなります。

　

（３）大きい結果とするには、

偶数の場合は、

　　「２」だけの和で表した後で、２＋２＋２をすべて３＋３に直す。

奇数の場合は、

　　「２」だけの和で表し、最後の＋１は、「＋３」とした後で、

　　 ２＋２＋２をすべて３＋３に直せばよい。

　

これをまとめると、整数を「２」と「３」だけの和で表し、

できる限り「３」を多く使えばよい。ということになりますね。　

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