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2015年2月11日 (水)

整数の操作計算問題

整数をいくつかの整数の和で表し、

和を作る整数をかけてできる数について考えます。

たとえば、5について考えると、

1+1+1+1+1、1+1+1+2、1+1+3 など6通りあり、

このうち、現れる整数をかけて最も大きくなるのは、2+3のときで、

2×3=6となります。

また、1+1+3 と、1+3+1と、3+1+1は同じものとみなすこととし、

次の問に答えなさい。

(1)整数「6」について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。

(2)整数「16」について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。

(3)ある整数について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするには、どのようにすればよいのか答えなさい。

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 (1)6=1+1+1+1+1+1 とすると、現れる数をかけると

    1×1×1×1×1×1=1 です。

6=2+1+1+1+1 とすると、かけてできる数は「2」

6=3+1+1+1 とすると、かけてできる数は「3」

6=4+1+1 とすると、かけてできる数は「4」

6=5+1 とすると、かけてできる数は「5」  です。

 

6=2+2+2 とすると、かけてできる数は2×2×2=「8」です。

6=2+3+1 とすると、かけてできる数は「6」です。

6=2+4 とすると、かけてできる数は「8」です。

 

6=3+3 とすると、かけてできる数は、「9」です。

 

よって、もっとも大きくすると「9」になります。

 

 (2)4=2+2 なので、「4」を1つ使うことと「2」を2つ使うことは

同じ結果となります。

5=2+3 なので、「5」を1つ使うことよりも、「2」と「3」に分けて

2×3=6 として使う方が大きい結果となります。

 

以降も、「6」は「3」と「3」に分ける方が大きい結果に、

「7」は「3」、「2」、「2」に分ける方が大きい結果に、

「8」は「2」を3つ、「9」は「3」を2つ使うことに等しく、

「10」も「5」と「5」に分けた方が大きい結果となり、

さらに「5」は「2」と「3」に分けた方が大きい結果となります。

 

16=2+2+2+2+2+2+2+2 とすると、

2×2×2×2×2×2×2×2=256

 

ここで、「6」=2+2+2 としたときと、「6」=3+3 としたときでは、

3+3の方が大きい結果となるので、

16=3+3+3+3+2+2 として、

3×3×3×3×2×2=324 がもっとも大きくなります。

 

(3)大きい結果とするには、

偶数の場合は、

  「2」だけの和で表した後で、2+2+2をすべて3+3に直す。

奇数の場合は、

  「2」だけの和で表し、最後の+1は、「+3」とした後で、

   2+2+2をすべて3+3に直せばよい。

 

これをまとめると、整数を「2」と「3」だけの和で表し、

できる限り「3」を多く使えばよい。ということになりますね。 

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