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2015年2月26日 (木)

2015年2月26日 (木)

約分できないものは? (浅野中学 2003年)

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次のような分数があります。

このうち、約分できないものをすべて足すといくらになるか答えなさい。

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 18=2×2×3 なので、分子が2の倍数のものと、3の倍数の

ものは、約分できることになります。

 

 1から180までに、2の倍数は、180÷2=90個あります。

3の倍数は180÷3=60個あります。

2と3の両方の倍数(=6の倍数)は、180÷6=30個あるので、

約分できるものは、90+60-30=120個あり、

約分できないものは、180-120=60個あることがわかります。

 

約分できないものの分子は、

1,5,7,11,13,17,19,・・・,167,169,173,175,179

の60個です。この和の求め方としては、

 

方法①

1+5=6、7+11=18、13+17=30、19+23=42・・・

のように、2つずつの和が

6,18,30,42、・・・・354  となって、

12ずつの差で並ぶ30個の整数の和となり、この和は、

(6+354)×30÷2=180×30 となります。 

 

方法②

1+179=180

5+175=180

7+173=180

・・・・・・・・

ということに気づければ、この和は、180が60÷2=30個あり、

180×(60÷2)=180×30 となります。

 

方法①または方法②により、分子の和は180×30で、

分母は18なので、約分できない分数の和は、

180×30÷18=300 と求められます。

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