面積比と長さ比は？（巣鴨中学 2007年）

下の図は、三角形ＡＢＣの面積を７等分したものです。

　

ＢＣの長さが１２ｃｍのとき、次の問に答えなさい。

　

（１）ＣＥ の長さを求めなさい。

（２）ＢＩの長さを求めなさい。

（３）ＡＤ：ＤＦ：ＦＨ：ＨＢの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

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　（１）ＣＥ の長さを求めるには、ＣＥ：ＥＢがわかればよいですね。

　

ＣＥ：ＥＢ＝三角形ＣＤＥの面積：三角形ＢＤＥの面積 で、

　　　　　＝１：５ です。

　

よって、ＢＣ＝１２ｃｍより、ＣＥ＝１２÷（１＋５）×１＝２ｃｍ です。

　

　（２）三角形ＢＨＩの面積と三角形ＧＨＩの面積が等しいので、

ＢＩ＝ＩＧ ということがわかります。

　

　次に、三角形ＢＦＧの面積：三角形ＥＦＧの面積＝１：３ より、

ＥＧ：ＧＢ＝１：３ ということがわかります。

　

よって、ＥＧ：ＧＩ：ＩＢ＝２：３：３ ということがわかり、ＢＥ＝１０ｃｍより、

ＢＩ＝１０÷（２＋３＋３）×３＝１５/４＝３．７５ｃｍ となります。

　

　（３）各三角形の面積比より、下の図のように

ＡＤ：ＤＢ＝１：６

ＤＦ：ＦＢ＝１：４

ＦＨ：ＨＢ＝１：２　ということがわかります。

　この比をそろえていくと、

まず、ＤＦ：ＦＢ＝１：４、ＦＨ：ＨＢ＝１：２ は、

１＋２＝３ と、４（ＦＢ）の最小公倍数１２にそろえて、

　ＤＦ：ＦＢ＝３：１２

　ＦＨ：ＨＢ＝４：８ より、ＤＦ：ＦＨ：ＨＢ＝３：４：８ となります。

　

３＋４＋８＝１５ で、ＡＤ：ＤＢ＝１：６ より、

１５と６の最小公倍数の３０に比をそろえると、

　ＤＦ：ＦＨ：ＨＢ＝６：８：１６、ＡＤ：ＤＢ＝５：３０ となり、

　ＡＤ：ＤＦ：ＦＨ：ＨＢ＝５：６：８：１６ となります。

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