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2015年2月20日 (金)

2015年2月20日 (金)

面積比と長さ比は?(巣鴨中学 2007年)

下の図は、三角形ABCの面積を7等分したものです。

 

BCの長さが12cmのとき、次の問に答えなさい。

 

(1)CE の長さを求めなさい。

(2)BIの長さを求めなさい。

(3)AD:DF:FH:HBの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

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 (1)CE の長さを求めるには、CE:EBがわかればよいですね。

 

CE:EB=三角形CDEの面積:三角形BDEの面積 で、

     =1:5 です。

 

よって、BC=12cmより、CE=12÷(1+5)×1=2cm です。

 

 (2)三角形BHIの面積と三角形GHIの面積が等しいので、

BI=IG ということがわかります。

 

 次に、三角形BFGの面積:三角形EFGの面積=1:3 より、

EG:GB=1:3 ということがわかります。

 

よって、EG:GI:IB=2:3:3 ということがわかり、BE=10cmより、

BI=10÷(2+3+3)×3=15/4=3.75cm となります。

 

 (3)各三角形の面積比より、下の図のように

AD:DB=1:6

DF:FB=1:4

FH:HB=1:2 ということがわかります。

 この比をそろえていくと、

まず、DF:FB=1:4、FH:HB=1:2 は、

1+2=3 と、4(FB)の最小公倍数12にそろえて、

 DF:FB=3:12

 FH:HB=4:8 より、DF:FH:HB=3:4:8 となります。

 

3+4+8=15 で、AD:DB=1:6 より、

15と6の最小公倍数の30に比をそろえると、

 DF:FH:HB=6:8:16、AD:DB=5:30 となり、

 AD:DF:FH:HB=5:6:8:16 となります。

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