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2015年1月31日 (土)

2015年1月31日 (土)

長方形の中に三角形を作る場合の数 (聖光学院中学 2009年)

たて1cm、よこ5cmの長方形ABCDがあります。

AD,BCを5等分する点を、下図のようにE,F,G,H,I,J,K,L

とするとき、次の問に答えなさい。

        


(1)B,E,F,G,H,C の6個の点から、2つを選ぶ組み合わせは

   何通りあるか答えなさい。

(2)A~Lの12個の点から、3つの点を選んで三角形を作るとき、

   できる三角形は何通りありますか。

(3)(2)の三角形のうち、直角三角形は何通りありますか。

(4)(2)の三角形のうち、直角二等辺三角形は何通りありますか。

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 (1)6個の中から1つ目の点を選ぶ方法は6通り あります。

残り5個の中から2つ目の点を選ぶ方法は5通り あります。

B-E と E-B のように、同じものが2回数えられているので、

6×5÷2=15通り となります。

 

 (2)三角形を作る場合、選んだ3点が同じ辺上にあっては

作ることができないので、12個の点から3個を選んだときに、

選ばれた3個が同一辺上にある場合を除けばよいです。

 

12個の点から3個を選ぶ選び方は、

12×11×10 ですが、

ABE=AEB=BAE=BEA=EAB=EBA なので、

12×11×10÷(3×2×1)=220通り あります。

 

このうち、3つの点が同一辺上にあるは、

BC上の6点から3点を選ぶ場合の

6×5×4÷(3×2×1)=20通り

AD上の6個の点から3個の点を選ぶ場合も同様に20通り

合計で20×2=40通り あります。

  

よって、できる三角形は、220-40=180通り あります。

  

 <別解>

三角形は底辺と頂点が決まればできますので、

底辺と頂点の選び方から調べていきます。

三角形の底辺の長さが5cmのとき、

BCが底辺のときは、頂点を辺AD上の6個の点から選ぶので、

6通り あります。

ADを底辺とすると、頂点を辺BC上の6個の点から選ぶので、

同様に6通りあります。

 

 三角形の底辺の長さが4cmのとき、

BC上に底辺があるときは、底辺がBH、ECの2通りあり、それぞれ

頂点の選び方が6通りあるので、合計で6×2=12通りあります。

AD上に底辺があるときも、同様に12通りです。

 

 三角形の底辺の長さが3cmのとき、

BC上に底辺があるとき、底辺はBG,EH,FCの3通りあり、

頂点の選び方は6通りで、6×3=18通りの三角形が作れます。

AD上に底辺があるときも、同様に18通りです。

 

 三角形の底辺の長さが2cmのとき、

6×4×2=48通り です。

 

 三角形の底辺の長さが1cmのとき、

6×5×2=60通り です。

 

 この合計は、

6×2+6×2×2+6×3×2+6×4×2+6×5×2

=6×2×(1+2+3+4+5)=12×15=180通り となります。 

 

 (3)直角三角形は、下図のように長方形があれば、その中に4個

作ることができます。


ただし、(★)の長方形のように、よこが2cmの長方形の中には

さらに2個の直角三角形があるので、数える際に注意が必要です。

 

長方形の数は、よこ1cmのものは5通り、よこ2cmのものは4通り、

よこ3cmのものは3通り、よこ4cmのものは2通り、よこ5cmの

ものが1通りで、

合計すると5+4+3+2+1=15個の長方形が考えられ、

その中に作ることができる直角三角形は、15×4=60通り です。

 

よこ2cmのものには、さらに2個の直角三角形があるので、

4×2=8通り を加えて、60+8=68通り の直角三角形が

あります。

 

(4)直角二等辺三角形は、上図の(★)のものと、

1辺1cmの正方形(5通り)の中に4個作ることができるので、

4×2+5×4=28通り 作ることができます。

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