長方形の中に三角形を作る場合の数 （聖光学院中学 2009年）

たて１ｃｍ、よこ５ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあります。

ＡＤ，ＢＣを５等分する点を、下図のようにＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌ

とするとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　

（１）Ｂ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｃ の６個の点から、２つを選ぶ組み合わせは

　　 何通りあるか答えなさい。

（２）Ａ～Ｌの１２個の点から、３つの点を選んで三角形を作るとき、

　　 できる三角形は何通りありますか。

（３）（２）の三角形のうち、直角三角形は何通りありますか。

（４）（２）の三角形のうち、直角二等辺三角形は何通りありますか。

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　（１）６個の中から１つ目の点を選ぶ方法は６通り あります。

残り５個の中から２つ目の点を選ぶ方法は５通り あります。

Ｂ－Ｅ　と　Ｅ－Ｂ のように、同じものが２回数えられているので、

６×５÷２＝１５通り となります。

　

　（２）三角形を作る場合、選んだ３点が同じ辺上にあっては

作ることができないので、１２個の点から３個を選んだときに、

選ばれた３個が同一辺上にある場合を除けばよいです。

　

１２個の点から３個を選ぶ選び方は、

１２×１１×１０ ですが、

ＡＢＥ＝ＡＥＢ＝ＢＡＥ＝ＢＥＡ＝ＥＡＢ＝ＥＢＡ なので、

１２×１１×１０÷（３×２×１）＝２２０通り あります。

　

このうち、３つの点が同一辺上にあるは、

ＢＣ上の６点から３点を選ぶ場合の

６×５×４÷（３×２×１）＝２０通り

ＡＤ上の６個の点から３個の点を選ぶ場合も同様に２０通り

合計で２０×２＝４０通り あります。

　　

よって、できる三角形は、２２０－４０＝１８０通り あります。

　　

　＜別解＞

三角形は底辺と頂点が決まればできますので、

底辺と頂点の選び方から調べていきます。

三角形の底辺の長さが５ｃｍのとき、

ＢＣが底辺のときは、頂点を辺ＡＤ上の６個の点から選ぶので、

６通り あります。

ＡＤを底辺とすると、頂点を辺ＢＣ上の６個の点から選ぶので、

同様に６通りあります。

　

　三角形の底辺の長さが４ｃｍのとき、

ＢＣ上に底辺があるときは、底辺がＢＨ、ＥＣの２通りあり、それぞれ

頂点の選び方が６通りあるので、合計で６×２＝１２通りあります。

ＡＤ上に底辺があるときも、同様に１２通りです。

　

　三角形の底辺の長さが３ｃｍのとき、

ＢＣ上に底辺があるとき、底辺はＢＧ，ＥＨ，ＦＣの３通りあり、

頂点の選び方は６通りで、６×３＝１８通りの三角形が作れます。

ＡＤ上に底辺があるときも、同様に１８通りです。

　

　三角形の底辺の長さが２ｃｍのとき、

６×４×２＝４８通り です。

　

　三角形の底辺の長さが１ｃｍのとき、

６×５×２＝６０通り です。

　

　この合計は、

６×２＋６×２×２＋６×３×２＋６×４×２＋６×５×２

＝６×２×（１＋２＋３＋４＋５）＝１２×１５＝１８０通り となります。　

　

　（３）直角三角形は、下図のように長方形があれば、その中に４個

作ることができます。

ただし、（★）の長方形のように、よこが２ｃｍの長方形の中には

さらに２個の直角三角形があるので、数える際に注意が必要です。

　

長方形の数は、よこ１ｃｍのものは５通り、よこ２ｃｍのものは４通り、

よこ３ｃｍのものは３通り、よこ４ｃｍのものは２通り、よこ５ｃｍの

ものが１通りで、

合計すると５＋４＋３＋２＋１＝１５個の長方形が考えられ、

その中に作ることができる直角三角形は、１５×４＝６０通り です。

　

よこ２ｃｍのものには、さらに２個の直角三角形があるので、

４×２＝８通り を加えて、６０＋８＝６８通り の直角三角形が

あります。

　

（４）直角二等辺三角形は、上図の（★）のものと、

１辺１ｃｍの正方形（５通り）の中に４個作ることができるので、

４×２＋５×４＝２８通り 作ることができます。

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