６進法って？ （四天王寺中学 2008年）

マス目が描かれた同じプリントが２枚以上あります。

２から７までの６種類の数字を使ってできる整数２，３，４，５，６，７，２２・・・を

小さい順に１マスずつ、次の操作に従って書き込んでいきます。

操作①：どの行も左から右に書く。 

操作②：最後の列まで書き込み終わったら、次の行に書く。

操作③：最後の行まで書き込み終わったら、次のプリントに書く。

　

このようにして、すべてのプリントのすべてのマスに整数を書きました。

最後に書いた整数は「２７４６」でした。 このとき、次の問に答えなさい。　

　（１）２けたの整数は何個書き込まれていますか。 

　（２）書き込んだ整数は、全部で何個ですか。 

　（３）１枚目の紙の６行目の８列目の整数を答えなさい。

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　（１）十の位：６通り、一の位：６通り  より、６×６＝３６個です。

　

　（２）書き込んだ整数について、けた数によって分類すると、

１けた・・・２～７の６個

２けた・・・６×６＝３６個

３けた・・・６×６×６＝２１６個

４けた・・・６×６×６×６＝１２９６個

　

３けたの最後の７７７は、６＋３６＋２１６＝２５８番目で、

その次の２５９番目が２２２２です。

　

２７４６まで書き込んでいるので、　

２２●●、２３●●、２４●●、２５●●、２６●● の個数を数えると、

６×６×５＝１８０ より、２６７７が２５８＋１８０＝４３８番目 とわかり、

２７２２が４３９番目です。

　

２７２●、２７３●、の個数は、６×２＝１２より、

２７３７が４３８＋１２＝４５０番目 とわかり、

２７４２が４５１番目です。

２７４６は、４５１＋４＝４５５番目 に書き込む整数なので、

書き込んだ整数は、全部で４５５個 です。

　　

　（３）紙が何枚あって、行と列の数がいくらなのかわからないと

答えられません。

　

　書き込んだ整数の数は、行の数×列の数×紙の枚数

と等しいので、４５５を素因数分解すると、

４５５＝５×９１＝５×７×１３ となります。

この「５，７，１３」が、紙の枚数、行の数、列の数のいずれかを

表しています。

問題には、６行目、８列目とあるので、行は７以上、列は９以上

あることがうかがえますので、５，７，１３から適切なものを選び、

行の数＝７、列の数＝１３、紙の枚数＝５枚 となります。

　

ここから、６行目の８列目が何番目の整数なのか、わかります。

５行目までに５×１３＝６５個の整数があるので、

求める整数は、６５＋８＝７３番目 の整数です。

　　

（２）より、７７が６＋３６＝４２番目で、求めるものが７３番目なので、

７３－４２＝３１より、３けたになって３１番目の整数を求めればよい

ことになります。

　

一の位に６種類の整数があるので、３１÷６＝５あまり１ より、

２２２～２２７

２３２～２３７

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２２２から、十の位の数が５回変わって１個目が、７３番目の整数で、

２７２ が答えです。