平方数の性質は？（豊島岡女子学園中学 2007年）

下の例のように、同じ奇数を２回かけると、

必ず連続する２つの整数をそれぞれ２回かけた数の差になります。

（例）

　３×３＝９＝５×５－４×４

　５×５＝２５＝１３×１３－１２×１２

　１１×１１＝１２１＝６１×６１－６０×６０

このとき、下の（ア）にあてはまる数を答えなさい。

２９×２９＝（ア）×（ア）－（イ）×（イ）

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　当て勘で解くのは難しそうなので、法則がないか考えましょう。

　

よく（例）を観察すると・・・

　

　３×３＝９＝５＋４＝５×５－４×４

　５×５＝２５＝１３＋１２＝１３×１３－１２×１２

　１１×１１＝１２１＝６１＋６０＝６１×６１－６０×６０

となっていることがわかります。不思議ですね。

　

では、２９×２９ について計算すると、

　２９×２９＝８４１ です。

同じ考えで、８４１を足し算で表すと、

　８４１＝４２１＋４２０ です。

よって、（ア)にあてはまる数は、４２１ です。

　

実際に計算すると、

　 ４２１×４２１＝１７７２４１

　 ４２０×４２０＝１７６４００

となり、差は、１７７２４１－１７６４００＝８４１ となっています。