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2015年1月11日 (日)

水そうに立体を沈めると? (桜蔭中学 2005年)

たて25cm、横32cm、深さ23cmの水そうに、深さ10cmまで水が入っています。

底面が1辺5cmの正方形で高さ21cmの直方体の重りを

正方形の面が水そうの底に付くように1本ずつ入れます。

(1)何本目の重りを入れると、水そうに入っているすべての重りが初めて水面より下になりますか。

(2)1本目の重りを入れたとき、水面は何cm上がりますか。

(3)13本目の重りを入れたとき、水面の深さは何cmになりますか。

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 (1)水そうの底面積は、25×32=800c㎡ です。

イメージとしては、上の図1のように、

ある1本を入れると水面の高さが重りの高さ21cmより上になることになります。

入れた重りと水面の高さの関係は、下の図2のように

青い線で囲まれた体積と、重りの水面下の体積が等しい関係になります。

この関係を図1に当てはめると、□本で水面の高さが重りの高さより高くなるとすると、

5×5×21×□の体積は、水の体積:800×(21-10)より大きく 

5×5×21×(□-1)の体積は、800×(21-10)より小さい

ということになります。

800×(21-10)÷(5×5×21)=16.7・・・ なので、

16本目まで入れたときは、水面は重りの高さより低く、

17本目を入れると、水面は重りの高さより高くなることになります。

よって、入れた重りが初めて水面より下になるのは17本目の重りを入れたときです。 

(2)図2で、1本重りを入れたとき、○cm水面が上がったとすると

5×5×(10+○)=800×○ となるので、

775×○=250 より、○=10/31 cm です。

(3)図2の重りが13本を表しているとして、△cm水面が上がったとすると、

 5×5×13×(10+△)=800×△ となるので、

475×△=3250 より、△=130/19 cm より、

水面の高さは、10+130/19=16と16/19 cm です。

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