水そうに立体を沈めると？ （桜蔭中学 2005年）

たて２５ｃｍ、横３２ｃｍ、深さ２３ｃｍの水そうに、深さ１０ｃｍまで水が入っています。

底面が１辺５ｃｍの正方形で高さ２１ｃｍの直方体の重りを

正方形の面が水そうの底に付くように１本ずつ入れます。

（１）何本目の重りを入れると、水そうに入っているすべての重りが初めて水面より下になりますか。

（２）１本目の重りを入れたとき、水面は何ｃｍ上がりますか。

（３）１３本目の重りを入れたとき、水面の深さは何ｃｍになりますか。

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　（１）水そうの底面積は、２５×３２＝８００ｃ㎡ です。

イメージとしては、上の図１のように、

ある１本を入れると水面の高さが重りの高さ２１ｃｍより上になることになります。

入れた重りと水面の高さの関係は、下の図２のように

青い線で囲まれた体積と、重りの水面下の体積が等しい関係になります。

この関係を図１に当てはめると、□本で水面の高さが重りの高さより高くなるとすると、

５×５×２１×□の体積は、水の体積：８００×（２１－１０）より大きく　

５×５×２１×（□－１）の体積は、８００×（２１－１０）より小さい

ということになります。

８００×（２１－１０）÷（５×５×２１）＝１６．７・・・ なので、

１６本目まで入れたときは、水面は重りの高さより低く、

１７本目を入れると、水面は重りの高さより高くなることになります。

よって、入れた重りが初めて水面より下になるのは１７本目の重りを入れたときです。　

（２）図２で、１本重りを入れたとき、○ｃｍ水面が上がったとすると

５×５×（１０＋○）＝８００×○　となるので、

７７５×○＝２５０　より、○＝１０/３１ ｃｍ です。

（３）図２の重りが１３本を表しているとして、△ｃｍ水面が上がったとすると、

　５×５×１３×（１０＋△）＝８００×△　となるので、

４７５×△＝３２５０　より、△＝１３０/１９ ｃｍ より、

水面の高さは、１０＋１３０/１９＝１６と１６/１９ ｃｍ です。