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2015年1月 8日 (木)

2015年1月 8日 (木)

記号の並び方は? (神戸女学院中学 2010年)

下の表のように、ある決まりに従って奇数と記号△、□、×がならんでいます。



(1)3の列を見ると、下のようになっています。「303」の列を見たときの記号A,Bを答えなさい。

          

(2)1の列から数えて、表の中の△の個数の合計が5個になるのは15の列です。同様にして1の列から数えて、表の中の△の合計がちょうど500個になるとき、その列の数字を答えなさい。

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(1)1段目の記号は、「△、×、□」の3つのくり返しとなっており、

「303」が最初から何番目の列なのかを調べれば、記号がわかります。

奇数の列なので、奇数の番号は、2×■-1として求められ、

2×■-1=303 より、303は、304÷2=152番目 とわかります。

152÷3=50あまり2 なので、記号A は、2個目の「×」です。

次に、2段目は、「×、□、□、△」の4つのくり返しになっており、

152÷4=38 と割り切れるので、記号B は、4個目の「△」です。

 

(2)1段目は「3つ」のくり返し、2段目は「4つ」のくり返しなので、

1段目と2段目は、3と4の最小公倍数の「12個」のくり返しということがわかります。

すなわち、12番目の 12×2-1=23 の列までを1つのまとまりとして見ます。

すると、この中には、△が7個あります。

△が500個 登場するまでに、

  500÷7=71あまり3 より、

71回、12番目までのくり返しがあり、

△が3つ登場する4番目の「7の列」までで、

ちょうど500個の△が現れることがわかります。

よって、求めるのは、71×12+4=856番目の奇数ということになり、

それは、856×2-1=1711 と求められます。

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