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2015年1月6日

2015年1月 6日 (火)

6進法って? (四天王寺中学 2008年)

マス目が描かれた同じプリントが2枚以上あります。

2から7までの6種類の数字を使ってできる整数2,3,4,5,6,7,22・・・を

小さい順に1マスずつ、次の操作に従って書き込んでいきます。

操作①:どの行も左から右に書く。 

操作②:最後の列まで書き込み終わったら、次の行に書く。

操作③:最後の行まで書き込み終わったら、次のプリントに書く。


 

 

このようにして、すべてのプリントのすべてのマスに整数を書きました。

最後に書いた整数は「2746」でした。 このとき、次の問に答えなさい。 

 (1)2けたの整数は何個書き込まれていますか。 

 (2)書き込んだ整数は、全部で何個ですか。 

 (3)1枚目の紙の6行目の8列目の整数を答えなさい。

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 (1)十の位:6通り、一の位:6通り  より、6×6=36個です。

 

 (2)書き込んだ整数について、けた数によって分類すると、

1けた・・・2~7の6個

2けた・・・6×6=36個

3けた・・・6×6×6=216個

4けた・・・6×6×6×6=1296個

 

3けたの最後の777は、6+36+216=258番目で、

その次の259番目が2222です。

 

2746まで書き込んでいるので、 

22●●、23●●、24●●、25●●、26●● の個数を数えると、

6×6×5=180 より、2677が258+180=438番目 とわかり、

2722が439番目です。

 

272●、273●、の個数は、6×2=12より、

2737が438+12=450番目 とわかり、

2742が451番目です。

2746は、451+4=455番目 に書き込む整数なので、

書き込んだ整数は、全部で455個 です。

  

 (3)紙が何枚あって、行と列の数がいくらなのかわからないと

答えられません。

 

 書き込んだ整数の数は、行の数×列の数×紙の枚数

と等しいので、455を素因数分解すると、

455=5×91=5×7×13 となります。

この「5,7,13」が、紙の枚数、行の数、列の数のいずれかを

表しています。

問題には、6行目、8列目とあるので、行は7以上、列は9以上

あることがうかがえますので、5,7,13から適切なものを選び、

行の数=7、列の数=13、紙の枚数=5枚 となります。

 

ここから、6行目の8列目が何番目の整数なのか、わかります。

5行目までに5×13=65個の整数があるので、

求める整数は、65+8=73番目 の整数です。

  

(2)より、77が6+36=42番目で、求めるものが73番目なので、

73-42=31より、3けたになって31番目の整数を求めればよい

ことになります。

 

一の位に6種類の整数があるので、31÷6=5あまり1 より、

222~227

232~237

・・・・・・・・・・

222から、十の位の数が5回変わって1個目が、73番目の整数で、

272 が答えです。

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