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2019年10月 8日 (火)

テトリスのような立方体ブロックパズル(金蘭千里中学 2011年)

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1辺の長さが2cmの立方体がいくつかあります。

この立方体の面と面をくっつけていき、新しい立体を作ります。

たとえば、3個の立方体を使う場合は、下の図の2種類の立体を作ることができます。

回転させると同じ立体になるものは1つの立体として考えるものとして、

次の問に答えてください。

     Pic_2479q

(1)2個の立方体を使ってできる立体の表面積は何c㎡ですか。

(2)4個の立方体を使ってできる立体は何種類ありますか。

         また、それらのうち、表面積が最も小さいものは何c㎡ ですか。

(3)7個の立方体を使ってできる立体のうち、表面積が最も小さいものは何c㎡ ですか。

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こたえ

(1)1辺2cmの立方体を2個使ってできる立体は、

下の図1の立体のみです。

         Pic_2480a

この立体の表面積は、 面積が 2×2 の面が2面、

4×2 の面が4面 なので、

2×2×2+4×2×4= 40c㎡ です。

 
(2)テトリスというゲームをご存知でしょうか?

テトリスというのは、立方体4個から作られるブロックを

積んでいくというゲームです。

それを参考に、4個の立方体を使ってできる平面的な立体は、

下の図2の①~⑤の5種類になります。(⑤と⑥は同じ)

Pic_2481a

図2は平面的な立体でしたが、立体的な立体(?)も作れます。

それが、下の図3に示した3種類です。

    Pic_2482a

気をつけたいのは、⑦と⑧は同じではないことです。

回転させても重なりません。

 
よって、4個の立方体を使ってできる立体は、

3+5=8種類

と、普通は考えて、答えも正しいのですが・・・

少し別な視点で考えてみると、以下のようになります。

 
立方体を4個使うということは、立方体3個を使ってできる

立体に、さらに1個立方体を加える、と考えることができます。

 
3個の立方体を使ってできる立体は、問題文にあるように

2種類です。この2種類に立方体を1個加えると、下の図4

のように、それぞれ3種類と5種類作ることができます。

  Pic_2483a

よって、作ることができる立体は、3+5=8種類 です。

 
次に、この8種類のうち、表面積が最も小さいものを探します。

表面積は、接着面が多いほど小さくなっていきます。

 
①、②、③は同じ表面積です(接着面が3か所)

④は接着面が4か所 なので、より表面積が小さいです。

⑤、⑥、⑦、⑧、⑨も接着面が3か所です。

 
よって、表面積が最も小さいのは、④の立体で、その表面積は、

4cm×4cm の面が2面、2cm×4cm の面が4面あり、

4×4×2+2×4×4=64c㎡ です。

(3)7個の立方体を使ってできる、表面積の小さい立体として

思いつくものは、どんなものがあるでしょうか。

下の図5のような立体を思いつくかもしれません。

しかし、これは中央の立方体は6面すべて接着していますが、

周りの6個は、色のついた1つの面でしか接着していません。

 Pic_2484a

そこで、1つの面でしか接着していない立方体を、図6のように

移動させると、2つの面で接着するので、

接着面を1面増やすことができ、

図6のように2つなら2面増やすことができます。

  
これ以上、表面積を小さくすることはできるでしょうか?

さらに表面積を小さくすることを考えると、

下の図7のように、

2面→3面(黄→水色)に接着面を増やすことができます。

    Pic_2485a

図7の立体が、最もコンパクトな形で、

これ以上接着面を増やすことはできず、

その表面積は、1辺4cmの立方体の表面積に

等しく、4×4×6面=96c㎡ です。

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2019年9月 3日 (火)

第29回高校生クイズ準決勝延長戦問題(東大寺学園高校 vs 開成高校 数学オリンピック問題より)

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サイコロを6回ふったとき、何回目かに出た目の数の和が6になる確率は?

Sai

4275

 

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親子で考えた解法例

Photo_20190903095901

「確率ってわかる?」

「6回に1回6が出るってこと?」

「つまり確率は・・・」

6

「そうか」

「じゃあ2回ふったら?」

「6×6の場合の数のうち・・・」

「樹形図の練習になるね」

(1、5)(2、4)(3、3)(4、2)(5、1)

「この5通りだ!」

「だから確率はこう」

66

「3回ふると6×6×6で・・・」

(1、1、4)(1、2、3)(1、3、2)(1、4、1)(2、1、3)

(2、2、2)(2、3、1)(3、1、2)(3、2、1)(4、1、1)

「10通りだね」

「確率は・・・」

666

「4回は?」

(1、1、1、3)(1、1、2、2)(1、1、3、1)(1、2、1、2)

(1、2、2、1)(1、3、1、1)(2、1、1、2)(2、1、2、1)

(2、2、1、1)(3、1、1、1)

「これも10通りだ」

「6×6×6×6のうち10通りだから確率は・・・」

6666

「5回は6×6×6×6×6のうち・・・」

(1、1、1、1、2)

「2がどこで出るかっていうことだから・・・」

「5通り!」

「確率は・・・」

66666

「6回ふって6になるのは全部1が出たときだけ。こんなことめったにない」

(1、1、1、1、1、1)

666666

「これ全部たすの」

「通分するのか!ぎゃー」

Tubun

「計算できた?」

Kotae

「勝った東大寺学園てすごいね」

「これ算数オリンピックの問題だって」

「スポーツの方がいい!」

 

 

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2019年6月13日 (木)

アの角度は何度?(西大和学園中学 2019年)

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下の図において,アの角度は何度ですか。

ただし図の ●, × はそれぞれ同じ大きさを表す角とします。

6132

103_2

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解法例

60+3×(×)=2×(●)・・・・・①

21+2×(×)=(●)・・・・・②

①×2⇒120+6×(×)=4×(●)・・・・・③

②×3⇒63+6×(×)=3×(●)・・・・・④

③-④⇒57=(●)

②⇒21+2×(×)=57

2×(×)=36

(×)=18

ア+2×18=2×57

ア=114-36=78°

        104

 

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682

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2019年5月26日 (日)

正方形の白い布の面積は何㎡(第11回算数オリンピック トライアル問題)

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半径50cm、高さ1mの円形のテーブルに

正方形の白い布をかぶせたら、

白い布の4つの角が、ちょうどぴったり床につきました。

正方形の白い布の面積は何㎡ですか。

Honeycam-20190526-120224

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Bandicam-20190526-120316699

Bandicam-20190526-120324401

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2019年5月 8日 (水)

50番目の数はいくつ?(灘中学 2019年)

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89の倍数と、113の倍数を

89、113、178、226、・・・・・

のように小さいものから順に並べるとき、

50番目の数はいくつでしょうか?

25

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解法例

1gifyajirusi

それぞれの倍数50個のうち、89の倍数の方が多そうです。

どのくらいの比率になるか考えます。

大きさの比率は89:113なので、

出現頻度は逆比になり、113:89

(113+89)÷50=4.04 より、

89は113÷4=28.25 なので 約28個

113は89÷4=22.25 より 約22個 と予想してみます。

89×28=2492

113×22=2486 なので、

49番目が2486

50番目は2492 です。

958

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«勝敗のついたじゃんけんは合計何回?(頌栄女子学院中学 2019年)

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