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2018年1月23日 (火)

正三角形の面積の何倍?(今年、2018年 渋谷教育学園幕張中学)

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図のように角Aの大きさが120°

辺BCの長さが7cmの三角形ABCがありま す。

辺ACの長さは辺ABの長さより2cm長くなっています。

三角形ABCの面積 は、

1辺の長さが7cmの正三角形の面積の何倍ですか。

1231

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1232

∠ABC+∠ACB=180-120=60°なので、

∠DBA=∠ACB

∠DCA=∠ABC

∠BDE=∠ABC

∠CDE=∠ACB とすると、

△ABCと合同な△EDBと△FCDができます。

△黄は1辺が2cmの正三角形になるので、

△ABCの面積比は、

(7×7-2×2)÷3=15 より、

1辺が7cmの正三角形の15/49

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2018年1月21日 (日)

いくつの正方形を通る?(今年、2018年 甲陽学院中学)

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下の図のように正方形を縦に2個、横に4個並べて長方形を作り、

1本の対角線を引くと、対角線は4個の正方形の中を通ります。

1211

次のように正方形を並べて長方形を作り、1本の対角線を引いたとき、

対角線はいくつの正方形の中を通りますか。

ただし、正方形は一番小さなものだけを数えます。

(1)縦に13個、横に17個並べたとき

(2)縦に2018個、横に9081個並べたとき

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(1)

1212

縦の線を1本横切るごとに、新しい正方形を通ります。

また、横の線を1本越えるごとに、新しい正方形を通ります。

両サイドの縦線を除く縦線の数は17-1=16本

上下の横線を除く横線の数は、13-1=12本

線が通る正方形の数は、16+12=28

最初の正方形をたして、28+1=29個です。

(2)

例のように、縦線と横線の交点を通る場合は、

長方形を分けて考えます。

例の場合は、縦1個、横2個の長方形が、

縦2個、横2個、最大公約数分並んだ長方形として考えます。

縦1個、横2個の長方形は、

(1-1)+(2-1)+1=2個の正方形を通るので、その2つ分、

2×2=4個の正方形を通ります。

2018=2×1009

9081=9×1009 なので、

2×9の長方形を考えると、

1213

(2-1)+(9-1)+1=10個の正方形を通ります。

1214

それが1009個あるので、

全部で、10×1009=10090個の正方形を通ります。


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2018年1月18日 (木)

□にあてはまる数は?(今年、2018年 灘中学 1日目)

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毎年恒例の、灘中学1日目の第1問、計算問題です。

1183


Hpsa1101cs

□に入る数は?

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左辺=

(1/2-1/5)+(1/5-1/7)+(1/7-1/11)+(1/11-1/13)=

1/2-1/13=

11/26

11/26=30÷(11×76-7×□)/11

(26×30)/11=(11×76-7×□)/11

26×30=11×76-7×□

7×□=836-780

7×□=56

□=8

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2018年1月17日 (水)

問題2だけができた人は何人?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)

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40人のクラスで、問題数が2問の算数の小テストを行いました。

問題1、問題2をそれぞれ5点として、10点満点で採点したところ、

クラスの平均点は6.5点でした。

また、問題1が できた人は32人、

問題1と問題2の2問ともできた人は15人でした。

問題2だけができた人は何人ですか。

Ilm07_aa02003s

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1174

クラスの合計得点は、


6.5×40=260点


32人が1問正解なので、


5×32=160点、


さらに、2問目を正解した人が15人なので、


5×15=75点


残りの得点は、260-(160+75)=25点


問題2だけができた人は、


25÷5=5人

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2018年1月15日 (月)

全部で何個ある?(今年、2018年 灘中学 1日目)

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下の図で、円周を12等分した点をA、B、...、Lとします。

これら12個の点から異なる3点を選んで三角形をつくるとき、

どの辺の長さも円の半径より大きくなるような三角形は

全部で何個ありますか。

ただし、合同な三角形でも、

頂点が異なるときには異なる三角形として数えます。

1154

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中心と2つ離れた点を結ぶと、正三角形になるので、

半径より大きい辺は、3つ以上離れた点を結ぶ.場合になります。.

Bandicam_20180115_094433541

Aを基準に考えると、以下の図のように、

4+3+2+1=10通りの三角形が描けます。

Bandicam_20180115_094618694

Bandicam_20180115_094712819_2

Bandicam_20180115_094745531

Bandicam_20180115_094824163_2

12の点すべて10通りの三角形が描けるので、

10×12=120通りの三角形になりますが、

三角形は3点で成り立つため、

3つの三角形が必ず重複しているので、

実際は、120÷3=40通りになります。

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