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立方体

2015年12月26日 (土)

切断した立体の表面積は?(サレジオ学院中学 2014年)

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図のように,立方体ABCD-EFGHがあります。
ACの長さを6cm,辺FGのまん中の点をM,辺GHのまん中の点をNとします。
3点C,M,Nを通る平面でこの立方体を切ったとき, 点Gを含む方の立体の表面積は何c㎡ですか。

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2015年11月 8日 (日)

切断された個数は?(2015年 市川中学)

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図のように、同じ大きさの立方体を16個積み重ねて直方体をつくりました。

図の3点A、B、Cを通る平面でこの立体を切ります。

このとき、切断された立方体の個数は何個ですか。

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2015年10月26日 (月)

正八面体の性質は?(奈良学園中学 2009年)

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1辺4cmの立方体の各面の中心の点を結んで立体Aを作ります。

下の図1は、立体Aの1つの面を表しています。

        

(1)立体Aの面の数を答えなさい。

(2)円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Aを回転させずに通します。

次のとき、穴の面積は最低何c㎡必要か答えなさい。

(ア)元の立方体の面と板が平行になるように立体Aを通すとき

(イ)立体Aの面と板が平行になるように穴を通すとき

なお、必要ならば、1辺1cmの正三角形の3つの頂点を通る円の面積が、

半径1cmの円の面積の3分の1であることを用いなさい。

また、円周率は3.14とします。

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2015年10月14日 (水)

今年2015年の浦和明の星女子中学の問題から、最大の面積は?

図1の展開図を黒い面が表面にくるように組み立てた1辺の長さが1cmの立方体が9個あります。

この立方体を図2のように机の上に積み上げます。

黒い面が最も多く見えるように置いたとき、その見えている黒い面の面積の合計を求めなさい。

ただし、この立体が机に接する面は見えないものとします。

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2015年7月22日 (水)

頻出の有名な四面体問題(芝中学 2013年)

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下の図は、1辺が12cmの立方体で、点P,Q はそれぞれ辺AD,CD のまん中の点です。

Pic_3477q

 

(1)3点 E,P,Q を通る平面で この立方体を2つの立体に分けたとき、頂点D を含む立体の体積を求めなさい。

(2)三角すい H-PQD の表面積を求めなさい。

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2015年2月22日 (日)

イメージで見る算数!フラクタル立体 (駒場東邦中学 2001年)

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1辺10cmの立方体Aがあります。

(1)立方体Aの6個の面に、辺の長さがAの半分の立方体Bを辺どうしが重ならないように、下の図のようにはりつけます。こうしてできた立体の辺の数を答えなさい。

 

(2)(1)の立体の立方体Bの、立方体Aと重なっていないすべての面に、辺の長さが立方体Bの半分の立方体Cを辺どうしが重ならないようにはりつけてできる立体の面の数を答えなさい。

(3)(2)でできた立体の立方体Cの、立方体Bと重なっていないすべての面に、辺の長さが立方体Cの半分の立方体Dを辺どうしが重ならないようにはりつけてできる立体の表面積を答えなさい。

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 (1)立方体Aのすべての面に立方体Bをはりつけてできる

立体の辺の数は、立方体が7個あることと同じで、

立方体の辺の数は12本なので、

  12×7=84本 です。

 

 (2)立方体Cの個数は、立方体Bの5倍あるので、

6×5=30個あります。

 

立方体Cは、1つの面が立方体Bと重なっているので、

立方体Cの面の数は、30×(6-1)=150面

 

立方体Bは、1つの面が立方体Aと重なっているので、

立方体Bの面の数は、6×(6-1)=30面

 

立方体Aは、すべての面を見ることができるので、

立方体Aの面の数は6面

 

よって、この立体の面の数は、

  150+30+6=186面 です。

 

 (3)まず、立方体Aの表面積は、10×10×6=600c㎡ です。

 

次に、立方体Aに立方体Bをはりあわせた立体で、

立方体B1個につき増える表面積は、下の図1のように

     

立方体Bの4面分の面積が増えるので、立方体Aに立方体Bを

はりあわせた立体の表面積は、立方体Aの表面積に、

( 立方体Bの個数 × 立方体Bの4面分の面積 )を足せばよく、

   600+6×(5×5×4)=1200c㎡ となります。

 

さらに、立方体Cをはりあわせた立体が下の図2から図3のように

なるので、その表面積は、さきほどと同様に、

図2の立体の表面積に

 (立方体Cの個数 × 立方体Cの4面分の面積)を加えて、

1200+30個×(5/2×5/2×4)=1950c㎡ となります。

 

最後に、立方体Dをはり合わせた立体について考えると、

立方体Dの個数が

  5×30=150個 あるので、

増える面積は、(立方体Dの個数 × 立方体Dの4面分の面積)で、

  150個×(5/4×5/4×4)=937.5c㎡ となり、

この立体の表面積は、

 1950+837.5=2887.5c㎡ と求められます。

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2015年1月15日 (木)

投影図をどう見るか? (開成中学 2002年)

体積1立方cm の立方体を机の上に積み上げて立体を作りました。

この立体を真上、正面、側面から見ると、下の図のようになりました。

このとき、考えられる立体の体積のうち、最も小さいときの体積を答えなさい。


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真上から見た図に、正面と側面から見た図からわかることを書き込んでいくことにします。

まず、下の図1のように、立方体が1個しか積まれていない部分がわかります。 




次に、下の図2のように側面から見て2個、3個の部分は、

それぞれ黄色と青の部分となります。

このとき、正面からの図では、4個、5個と積まれた部分が見えるわけですが、

その部分は図の赤い部分になることがわかります。




次に、3個積まれた青い部分について考えると、下の図3のように


立方体を3個積まれた部分を1ヶ所にまとめれば、体積は小さくなります。

図2で黄色い部分(立方体2個以下)は、どこかが2個で他は1個でよいので、

立体の体積を最小にする配置は下の図4のようになります。



このとき、体積は

5+4×2+3+2+1×15=33立方cm となります。

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2014年12月22日 (月)

立方体の切断イメージは? (世田谷学園中学 2006年)

1辺12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。

     

(1)AB、BCのまん中に点M,Nをとり、3点F,M,Nを通る平面で立方体を切断するとき、頂点Hをふくむ方の立体の表面積を求めなさい。

(2)AEを2:1に分ける点をP、CGのまん中の点をQとして、3点D,P,Qを通る平面で立方体を切断するとき、頂点Hをふくむ方の立体の体積を求めなさい。

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 (1)立方体ABCD-EFGHの表面積は、12×12×6c㎡です。

切り取られる三角柱F-BMNの三角形BFM,BFN,BMNの

面積の和は、6×12÷2×2+6×6÷2=90c㎡ です。

切断面の三角形FMNの面積は、三角形DMNの面積に等しく、

12×12-90=54c㎡ です。

よって、求める表面積=12×12×6-90+54=828c㎡

となります。

(2)3点D,P,Qを通る平面が立方体をどのように切断するか調べます。

PからDQと平行な線を引き、EFとの交点をRとし、

QからDPと平行な線を引き、FGとの交点をSとすると、

下図のようになります。

三角形CDQと三角形ERPは相似なので、CQ:CD=EP:ERより、

EF=8cm となります。

三角形ADPと三角形GSQは相似なので、AP:AD=GQ:GSより、

SG=9cm となります。

また、DPの延長とHEの延長の交点を点T、

DQの延長とHGの延長の交点を点Uとすると、

三角形APDと三角形EPTが相似で、相似比2:1なのでET=6cm

三角形CDQと三角形GUQが相似比1:1なので、GU=12cm

となり、TU上に2点R、Sがあります。

ここで、三角すいD-HTUと三角すいP-TER,Q-SGUは相似で、

相似比は高さの比で、DH:PE:QG=12:4:6=6:2:3です。

よって、その体積比は、

6×6×6  : 2×2×2 : 3×3×3 = 216 : 8 : 27 です。

求める部分の体積と三角すいD-HTUの体積  の体積比は、

=216-(8+27) : 216  =181:216 となります。

三角すいD-HTUの体積=三角形HTUの面積×DHの長さ÷3

=18×24÷2×12÷3=18×24×2cm3  なので、

求める部分の体積は、

18×24×2÷216×(216-8-27)=4×181=724cm3

となります。

2013年8月 9日 (金)

重ね方は何種類?(筑波大学附属中学 2008年)

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立体図形と解法例

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2013年8月 3日 (土)

立方体の切り口と表面積(麻布中学 規則性)

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1個の立方体を,前後,左右、上下の面に平行な面で,それぞれ、4回、3回、2回切り、小さな直方体をつくります。これらすべての直方体の表面積の合計は、もとの立方体の表面積の何倍になりますか。

Stnd022s

イメージアニメーションと解答例

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