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2016年2月 6日 (土)

軌跡の長さと面積は?(今年、2016年 洛星中学)

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一辺の長さが10cmのひし形ABCDがあり、

面積が96c㎡で、対角線 ACの長さが12cmです。

点Bを中心として、ひし形ABCDを180°時計回りに回転させるとき、

点Dの動く道のりは何cmですか。

また、△ACD の通過する部分の面積は何c㎡ですか。

12211_3

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2016年2月 5日 (金)

容器の横とたて長さは?(今年、2016年 神戸女学院中学)

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図のような直方体の容器があります。

この容器は、容器の底面に垂直で、左右の面に平行に動かすことができる仕切りで

2つの部分A、Bに分けられています。

AとBに同量の水を入れたところ、水面の高さの 比は7:9となりました。

次に、仕切りを2cm移動させたところ、

AとBの水面の高さの比は3:5となりました。

さらに、Bの水を1.2LだけAへ移したところ、

水面の高さの差が8cm縮まりました。

なお、容器から水があふれたり、

仕切りのすき間から水が移動したりすることはないものとします。

1221

(1)容器の横の長さを求めなさい。

(2)容器のたての長さを求めなさい。

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2015年10月 4日 (日)

今年、2015年に出た中学入試算数問題!正方形の移動(浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが4cmの正方形Aと1辺の長さが2cmの正方形Bがあります。

この2つの正方形が22cm離れた2つの壁の間を、90秒間、往復を繰り返します。

AとBは、下の図のような状態から出発し、

それぞれの正方形の対称の中心が2.5cm離れた直線の上にあるように動きます。

下のグラフは、動きだしてからの時間と、

出発した側の壁から正方形の対称の中心までの距離の関係を表したものです。

(1)2つの正方形の速さをそれぞれ答えなさい。

    また、グラフの[ア]にあてはまる数を答えなさい。

(2)動きだしてから何秒後に、2つの正方形の重なった部分がはじめてなくなりますか。

(3)2つの正方形が重なっている時間の合計は何秒間ですか。

1

2

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2015年6月30日 (火)

きょうの一題はこれ!とても簡単ですよ!(灘中学 1998年 類題)

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Konoha0

図の小さい円の直径は12cm、大きい円の直径は24cmで、

小さい円の共通の交点は大きい円の中心であり、

小さい円の中心は内側の正方形の辺上にあります。

このとき、色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

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2015年3月12日 (木)

イメージで見る算数!円の周りを転がる円 (六甲中学 2010年)

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半径10cmの大円と半径3cmの小円があり、小円の周上に一ヶ所●印がついています。下の図のように、アの位置ではその●印は大円の周上にあります。この位置から小円を大円に沿ってすべらないように回転させて、次に●印が大円の周上にくるのがイの位置です。図の青い色の部分の面積を求めなさい。

   

720

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 下の図の赤い曲線の長さは、小円の円周の長さに等しく、

     

3×2×3.14=6×3.14(cm) です。

赤い曲線の両端では、大円の中心と●印と小円の中心が

一直線に並ぶので、●印と●印の間でできる角度をA度とすると、

10×2×3.14×A/360=6×3.14 なので、

A/360=3/10 ということがわかります。

 

求める面積は、青い部分と黄色い半円2つに分けられ、

  3×3×3.14+(16×16-10×10)×3.14×A/360

= 9×3.14+156×3.14×3/10

=55.8×3.14

=175.212(c㎡) と求められます。

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2015年2月15日 (日)

玉の反射 (大阪星光学院中学 2010年)

1辺10cmの正方形ABCDの囲いがあり、頂点Bから玉を打ち出すと、

一定の速度で囲いのP→Q→R→S→T→U→・・・の順に反射をくり返しました。

玉がA,B,C,Dのいずれかの頂点にちょうど着いたところで止めます。

このとき、次の問に答えなさい。



(1)ARの長さは4cmでした。BUの長さを求めなさい。

(2)上の図の青い部分の面積を求めなさい。

(3)玉はどの頂点で動きを止めるか答えなさい。

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 (1)【反射するものは延長線を書く】のがコツです。

 

頂点Bから発射された玉は、点Rの位置に移動するまで、

直線で表すと下の図1のようにBEの長さを移動したことになります。

 ここで、AEの長さ=BCの長さ+FPの長さ+ARの長さ

             =10+10+4=24cm です。

 

 同様にして、点Rから点Uまで移動した長さは、下の図2のように

RHの長さになります。

 すると、RDの長さ+TGの長さ+BUの長さ=24cm になるので、

6+10+BUの長さ=24cm より、

BUの長さ=8cm とわかります。

 

 

 (2)図3のようにPQとSTの交点を点V、BPとTUの交点を点W

とすると、三角形BPQ、三角形TVQ、三角形BWTは相似です。 

四角形PVTWの面積は、

 三角形BPQの面積-(三角形TVQの面積+三角形BWTの面積)

から求めることにします。

   

図1の三角形ABEと三角形AQRが相似なことを利用して

AB:AE=AQ:AR より、AQ=5/3cm と求められ、

同様に三角形AQRと三角形BTUが相似ことを使用して、

BT=AQ×2=10/3cm とわかるので、

QT=10-(5/3+10/3)=5cm、BQ=25/3cm となります。

 

よって、BQ:BT:TQ=25/3:10/3:5=5:2:3 より、

三角形BPQ、三角形BWT、三角形TVQの相似比が5:2:3

なので、その面積比は、5×5:2×2:3×3=25:4:9 です。

 

求める四角形PVTWの面積:三角形BPQの面積の面積比は、

    25-(4+9):25=12:25 なので、

四角形PVTWの面積は、三角形BPQの面積の12/25、

すなわち、25/3×10÷2×12/25=20c㎡ となります。

 

 

 (3)三角形ABEにおいて、AE=24cmであることから、

玉は下の図4のように反射をくり返していくので、玉の動きが

止まるのは、24cm×□=10(正方形の1辺)の倍数となる

ときです。

すると、24×5=120cm なので、Bから発射された玉が、

辺ADと辺BCに5回目にぶつかるときに移動を止めることが

わかります。

 

5回目というのは、下の図5のように(はね返る場所は適当でよい)

辺AD側ということがわかります。

 

では、頂点A,Dのどちらで動きを止めるか調べると、

図4のように、A→D→A→D→A→・・・の順に並び、

120cm移動するので、1辺10cmの正方形が12個あり、

図5のように数字を書いていけば、12番目=偶数番目

なので、頂点Aで動きを止めることが簡単にわかります。

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2015年2月 7日 (土)

イメージで見る算数! ひもの動く範囲は?(桐朋中学 2011年)

下の図のように、底面が直角三角形の三角柱があります。

三角形ABC の3つの辺AB,BC,CA の長さは、

それぞれ15cm、9cm、12cmで、角C の大きさは90度です。

また、三角柱の高さAD は10cmです。

  

長さが2cmのひもがあり、一方の端をP,他方の端をQとします。

このひもは三角柱の表面上を動きます。

円周率を3.14として、次の問に答えなさい。

(1)Pが頂点Cにあるとき、Qが動くことのできる範囲の面積を求めなさい。

(2)Pが辺AB上を動くとき、Qが動くことのできる範囲の面積を求めなさい。

(3)Pが三角柱のすべての辺上を動くとき、

    Qが動くことのできる範囲の面積を求めなさい。

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 (1)Pが頂点Cにあるとき、Qが動くことのできる範囲は、

面ABC,面ACFD,面BCFE の3つの面の、頂点Cを中心として

できる、半径2cm、中心角90度の扇形の内部なので、

 2×2×3.14×90/360×3=9.42c㎡ です。

 

 (2)Pが辺AB上を動くとき、Qが動くことのできる範囲は、

三角柱の直角三角形ABCを中心とした展開図で考えます。

 

すると、下の図1の展開図の青い部分の長方形と、黄色い2つの

扇形がQの動くことのできる範囲であることが理解できます。

図の角KAG、角LBHの大きさは、それぞれ求めることは

できませんが、2つの角を合計すると90度 とわかります。

(角KAG=角BAC、角LBH=角ABC なので)

  

よって、Qが動くことのできる範囲の面積は、

 2×2×3.14×90/360+(2+2)×15

=3.14+60

=63.14c㎡ と求められます。

 

 (3)Pが三角柱のすべての辺上を動くときに、Qが動くことの

できる範囲は、下の図2の側面部分と、図3の底面2面分の

青い部分となります。

  

  

図2の青い部分の面積の合計は、

 (15-4)×(10-4)+(12-4)×(10-4)

               +(9-4)×(10-4)

=144c㎡ です。

 

次に、図3の青い部分の面積を求めます。

 AS=10×5/4=12.5cm より、SB=2.5cm

 BR=7×5/3=35/3 より、RA=10/3cm

 RS=15-(5/2+10/3)=55/6cm です。

 RV=55/6×4/5=44/6=22/3cm 、

 SV=22/3×3/4=11/2cm とわかります。

  

ここで、三角形RSVについて考えると、下の図4のように、

T,Uから辺RSに垂線を下ろし、交点をX,Yとします。

 

XT、UYの長さが2cmで、三角形RXT,SUYは、ともに

三角形ABCと相似なので、

  RTの長さ=2×5/3=10/3cm

  SUの長さ=2×5/4=5/2cm

とそれぞれ求められるので、

  TVの長さ=22/3-10/3=4cm

  UVの長さ=11/2-5/2=3cm 

とわかり、三角形TUVの面積は、3×4÷2=6c㎡ です。

 

★別の求め方として、三角形の面積を用いた方法で、

Vから辺RSに垂線VWを下ろし、TUとの交点をZとすると、

 WVの長さは、22/3×11/2÷55/6=22/5cm です。

よって、WZの長さが2cmなので、ZVの長さは、

 22/5-2=12/5cm です。

 

このことから、三角形RSV と三角形TUV の相似比は、

  22:12=11:6 ということがわかります。

すなわち、

 SV:UV=11:6 で、SV=11/2 より、UV=6/2=3cm

 RV:TV=11:6 で、RV=22/3 より、TV=12/3=4cm

と求められます。

 

以上のことから、Qが動くことのできる範囲の面積は、

底面と同じものが2面あることに注意して、

  144+(12×9÷2-3×4÷2)×2

=144+96=240c㎡ と求められます。

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2015年1月26日 (月)

イメージで見る算数!回転する正方形 (鎌倉女学院中学 2011年)

下の図は、正方形ABCDを、頂点Cを中心として時計回りに1回転させたときに、頂点A,Bが動いてできた円です。図の青い部分の面積が50.24c㎡  のとき、次の問に答えなさい。

   

(1)正方形ABCD の1辺の長さは何cmですか。

(2)頂点A  が動いてできた円の面積を求めなさい。

(3)正方形ABCD が90°回転したとき、辺ABが通過した

    部分の面積を求めなさい。

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 (1)青い扇形の面積が50.24c㎡  なので、

     半径×半径×3.14÷4=50.24 より、

半径×半径=64  なので、半径=正方形の1辺の長さ=8cm

と求められます。

 

 (2)頂点A  が動いてできる円の半径=正方形の対角線AC で、

    正方形の面積=対角線×対角線÷2 より、

     64=対角線×対角線÷2 → 対角線×対角線=128

とわかります。

 

よって、頂点A  が動いてできる円の面積は、

  対角線×対角線×3.14=128×3.14=401.92c㎡ 

と求められます。

 

 (3)辺ABが通過する部分は、下の図1のようになります。

よく出題される問題ですので、マスターしましょう。

     

この場合、いろいろな面積の求め方ができます。

たとえば、下の図2のように2つの部分に分けて合わせることも

できます。

     

図2の黄色い部分は、正方形の面積から、90°の扇形の

面積を除いて、

   8×8-8×8×3.14÷4

図2の青い部分の面積は、正方形の対角線を半径とした

90°の扇形の面積から、正方形と同じ面積を除いて、

  128×3.14÷4-8×8

 

黄色い部分と青い部分を合計して、

  8×8-8×8×3.14÷4+(128×3.14÷4-8×8)

=(32-16)×3.14=16×3.14

=50.24c㎡  と求められます。

 

 また、下の図3のように、同じ面積の部分を移してしまう方法も

あります。問題慣れしてる人は、こちらの解法で解けるはずです。

     

すると、求める面積は、

   (対角線×対角線-8×8)×3.14÷4

=(128-64)×3.14÷4=16×3.14

=50.24c㎡  となります。

 

対角線×対角線 の円への応用、図形の移動が

組み合わされた良問と思われます。

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2015年1月21日 (水)

イメージで見る算数! 平行四辺形上を転がる図形 (江戸川学園取手中学 2009年)

下の図のよううに、半径4cmの円(図1)や1辺の長さ5cmの正三角形(図2)が平行四辺形の周りにそって、すべらずに回転して一周します。
このとき、次の問に答えなさい。

      

      

(1)図1で円の中心が移動する距離は何cmですか。

(2)図1で円が移動してできた図形の面積を求めなさい。

(3)図2で正三角形ABC が平行四辺形の周りを一周するとき、

点A の動いた距離を小数第2位を四捨五入して求めなさい。

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 (1)半径4cmの円が平行四辺形の周りを一周すると、

下の図3のようになります。

すると、円の中心が移動した距離は、

 (10+15)×2+4×2×3.14×360/360

=50+25.12=75.12cm となります。

 

 (2)図3より、円が移動してできた図形の面積は、

8×(10+15)×2+8×8×3.14×360/360

=400+200.96=600.96c㎡ となります。

 

 (3)正三角形が平行四辺形の周りを一周すると、

下の図4のようになります。

    

点A の動いた距離は、

 5×2×3.14×

   (120+180+120+120+120+120+240)/360

=10×3.14×1020/360

=88.96・・・≒89.0cm と求められます。

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2015年1月13日 (火)

□にあてはまる方向は?

下の図のように点Pが点Oを出発して、

初めは西の方向へ1m、次に南の方向へ2m、次に東の方向へ3m、

次に北の方向へ4m、次に西の方向へ5m、・・・と進んでいきます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)あるときに点Pは、□の方向に85m進みました。□にあてはまる方向を答えなさい。

(2)点Pが南北を結ぶ直線と交わったところを、図のように順番に①、②、③、・・・とします。点Oを出発して⑮までに点Pは何m進むか求めなさい。

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 (1)西→南→東→北の順番に点Pは移動していき、

それぞれ1m、2m、3m、4m、・・・の順に動くので、

方角と動く道のりの関係は、道のりを4で割った余りが

1,2,3,4のどれかを調べればよいことがわかります。

 

85m進むのは、85÷4=21あまり1 より、西の方向です。

 

 (2)点Pがどれくらい移動しているのか書きこんでみると、

下の図1のようになります。

 

 ①までに、1m+2m+1m=4m

 ②までに、2m+4m+2m=8m

 ③までに、3m+6m+3m=12m

のように、点Pが動く長さは、4の倍数ずつ増えていきます。

 

よって、点Pが⑮までに動く長さは、

 4+8+12+・・・+60=(4+60)×15÷2

               =480m と求められます。 

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