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旅人算

2015年10月19日 (月)

2015年、麻布中学の出題問題から、公園の旅人算

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,コース上をあ→い→う→え→おの順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,の位置から出発してに進み,に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・・と池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

1527



(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

  ①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

  ②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

  Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

考え方と解法例はこちらに!

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2015年7月28日 (火)

点が移動する旅人算(筑波大学附属駒場中学 2010年)

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平面上に点Oと点Pがあり、下の図1のように、Oを中心とする円と、Pを中心とする円があります。さらに、Pを中心とする円の周上に点Qがあります。

Pic_2705q

Pは、Oを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Oのまわりを1周するのに9秒かかります。このとき、Pを中心とする円もPと共に動きます。また、Qは、Pを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周するのに5秒かかります。

P,Qは、図1の位置から同時に動き始め、たとえば1秒後には下の図2のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2706q

(1)動き始めてからPがOのまわりを1周するまでに、3点O,P,Qを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

(2)点Rは、Pを中心とする円の周上を、Qと逆回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周するのに3秒かかります。Rは、 Qと同じ位置から、Qと同時に動き始めます。

(ア)3点P,Q,R を結ぶと初めて一直線になるのは、動き始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

(イ)動き始めてから2010秒後までに、4点O,P,Q,Rを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

図解と解法例はこちらに!

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2015年7月19日 (日)

休みが入る旅人算(豊島岡女子学園中学 2008年)

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A地点に豊子さんが,B地点に花子さんがいます。A地点とB地点の間の距離は5550mです。豊子さんはB地点に向かって,花子さんはA地点に向かって同時に歩き始めました。豊子さんは分速60mの一定の速さで歩き続け,花子さんは分速90mの一定の速さで4分歩いたあとに1分間休けいすることをくり返します。2人が出会うのは同時に歩き始めてから何分何秒後ですか。
1
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2015年3月 5日 (木)

イメージで見る算数!廊下の長さは何m?(洛星中学 2010年)

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太郎と次郎が廊下をはしからはしまで歩きました。

太郎が歩くと51歩と31cm残りました。次郎が歩くと58歩と42cm残りました。

太郎と次郎の歩幅は一定で、2人の歩幅の差が9cmのとき、

廊下の長さは何mですか。

720

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 歩いた様子を図にすると、下の図1のようになります。

 

ここから、太郎の方が次郎より歩幅が9cm長いことがわかります。

 

太郎も次郎も51歩進んだとき、次郎の方が太郎より、

51×9=459cm 後ろにいることになります。(下の図2)

    

図2と図1を比べると、下の図3のように、

次郎の7歩+11cm=459cm ということがわかるので、

次郎の1歩の長さ=(459-11)÷7=64cm と求められ、

廊下の長さ=64×58+42=3754cm=37.54m です。

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2015年2月24日 (火)

イメージで見る算数!旅人算(神戸女学院中学 2009年 改題)

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81mはなれた地点P,Qがあり、兄弟がPQ間を往復します。

毎分100mで兄が、毎分20mで弟が同時に地点Pを出発し、

弟は兄と出会うと向きを反対にして進むとき、次の問に答えなさい。

       

 (1)2回目に2人が出会うのは、地点Pから何mのところですか。

 (2)出発して8分間に2人が出会うのは何回ありますか。

 (3)弟は地点Qに着くことができるかどうか説明しなさい。

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 (1)まず、最初に2人が出会うのは、地点Pから

81×2÷(100+20)×20=27m のところです。

      

ここで弟は進む向きを変え、地点Pの方向へ向かうので、

       

2回目に2人が出会うのは、地点Pから27mの地点から

27×2÷(100+20)×20=9m のところになります。

 

この地点は、地点Pから 27-9=18m のところです。

 

 (2)8分間に兄は8×100=800m進みます。

この間に何往復するかというと、

800÷(81×2)=4あまり152m より、

4往復と、152m進んだところまで、すなわち、下の図0のように

5往復してP地点から10m手前のところまで進むことになります。

        

兄と弟の速度の比は、100:20=5:1なので、下の図1より

兄と弟が出会う場所は出発地点から1/3 進んだところになります。

    

PQ間に限らず、出会ったところから次に出会うところまでは、

出発地点から1/3のところになります。

  

1回目に出会う地点は、地点Pから27mでした。

下の図2のように、地点PからA(m)の地点(ア)で兄弟が出会った

とすると、次に兄弟が出会う地点(イ)は、地点PからA×2/3(m)

のところになります。

さらに、その次に兄弟が出会う地点(ウ)は、地点(イ)からX(m)と

すると、X=(81-A×2/3)÷3(m) なので、

地点(ウ)は、地点Pから、

A×2/3+(81-A×2/3)÷3 = 27+A×2/9 (m)

の場所となります。

 

すなわち、地点(ウ)はどんな場合も地点Pから27m以上

はなれた場所です。

  (仮に地点(ア)がQ地点に限りなく近くても、地点(ウ)は、

   地点Pから 27+81×2/9=45m のところになります。)

 

 8分後に兄がいる地点は地点Pから10mの場所なので、

ここは地点Pから27mの地点よりも地点Pに近いので、

8分間に兄弟が出会う回数は、

5(往復)×2-1(最初の出発時はふくまない)=9回 です。

 

 (3)弟が地点Qに着くとすると、図2の地点(ウ)が地点Qに

あてはまります。(地点(イ)が地点Qだとすると、地点(ア)の

2/3が地点(イ)なので、地点(ア)は81mを超えてしまい、不適。)

地点(ウ)の2回前の地点(ア)は、

27+A×2/9=81より、A=243(m)と求められますが、

PQの長さより長いので、存在しません。

 

よって、弟が地点Qに着くことはありえません。

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2013年8月30日 (金)

花子とバス(女子学院中学 2010年 算数入試問題 速さ)

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考え方と解法例

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2013年7月17日 (水)

速さの割合変化(雙葉中学 2010年)

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アニメ解説と解法例

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2013年6月 8日 (土)

ABCの速さ(中学受験算数 速さ)

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Bandicam_20130608_074611000

出会いのイメージと解法例

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2013年4月24日 (水)

速さの和→2人の動きをアニメーションで

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2人の動きと解法例

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2013年4月 2日 (火)

公園の旅人算(SAPIX 2009年7月復習テストより)

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ある公園の周りを、太郎と花子は左回りに、次郎は右回りに同じ地点を同時に出発して歩いたところ、次郎は太郎とはじめて出会ってから3分後に花子と出会いました。太郎は分速75m、花子は分速60m、次郎は分速65mで歩きました。この公園の周りの長さは何kmですか?

以下、親子で考えた解法例です。

「旅人算なんだろうけど、ややこしくて・・・」

「順番に整理しながら解いていけばいいの」

「それができればなぁー」

まずこんな動くイメージを頭に描いてみて

「何とかイメージした」 

Koen0

「まず、太郎と次郎が出会うとき、花子はどこにいる?」

Koen1

「花子は一番遅いからこんなとこかな」

「その距離を次郎と花子が歩いて3分で出会ったわけ」

Koen2

「(花子の分速60m+次郎の分速65m)×3分=375mだ。

これが答えならいいのに・・・」

「赤い部分の距離が375m。実はこの距離、太郎と花子の差でもあるわけね」

「そうか」

「何分でこの差がついたのか考えるわけ」

Koen3

「375m÷(太郎の分速75m-花子の分速60m)=25分

スタートしてから25分で375mの差がついたってこと?」

「そう。そのとき太郎と次郎は出会っているわけ」

Koen4

「(太郎の分速75m+次郎の分速65m)×25分=3500mか、

3回も旅人算、計算しないと答え出てこないのかよ」

「入試問題はそんな問題が多くなるね」

「答え3500m!」

「ちがう!」

「なんで?あっ、そうか3.5km。最後までひっかけようとしている」

「ひっかかるほうが悪いの」

アニメーション解答はコチラをクリック

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